第12讲 存在量词与全称量词-2021年暑假初升高数学衔接课程（基础版）（全国通用）

【高中新知识预习篇】 第12讲 存在量词与全称量词 一、基本知识及其典型例题 知识一 量词 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 （特称命题） 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)” 【例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)矩形的对角线不相等； (2)凸多边形的外角和等于360°； (3)存在x∈N,使得2x＋1是偶数； (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． 【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题： （1）存在实数x，使得x2+2x+3＞0； （2）菱形都是正方形； （3）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数． 【例2】将下列命题用“∀”或“∃”表示． (1)实数的平方是非负数； (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根； 【变式2】用符号“”“”表达下列命题. （1）实数都能写成小数的形式； （2）存在一实数对，使成立； （3）任意实数乘，都等于它的相反数； （4）存在实数x，使得. 知识二 判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【例3】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断下列命题的真假． (1)存在一个x∈R，使＝0； (2)对任意实数a，|a|＞0； (3)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (4)存在一个实数x0，使等式x＋x0＋8＝0成立． 【变式3.1】（多选题）下列全称量词命题中真命题的有（ ） A.负数没有对数； B.对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； C.二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点； D.∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. 【变式3.2】用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0； (2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称； (3)存在整数x，y，使得； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 知识三 含有一个量词的否定 1.全称量词命题的否定 全称量词命题p p 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 全称量词命题的否定是存在量词命题 例如：“所有奇函数的图象都过原点”的否定为“有的奇函数的图象不过原点”； “对任意实数x，都有x2－2x＋1>0”的否定为“存在实数x0，使x－2x0＋1≤0” 2.存在量词命题的否定 存在量词命题p p 结论 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 例如：“有些四棱柱是长方体”的否定为“所有的四棱柱都不是长方体”；“存在一些周期函数是奇函数”的否定为“所有的周期函数都不是奇函数”。 方法：对全称量词命题与存在量词命题否定时，首先找出命题中的量词，是全称量词的改为存在量词，是存在量词的改为全称量词，然后再对结论否定． 3.命题p与命题的否定p的真假相反. 即命题p为真，则p为假；命题p为假，则p为真； 【例4】（全称量词命题的否定）写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数末位是0. 【练习4】写出下列全称量词命题的否定： (1)p：每一个四边形的四个顶点共圆； (2)p：所有自然数的平方都是正数； (3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根； (4)p：对任意实数x，x2＋1≥0. 【例5】（存在量词命题的否定）写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3. 【变式5】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)p：∃x0>1，使x－2x0－3＝0； (2)p：有些素数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形． 【例6】已知p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果p是真命题，那么a的取值范围是 . 【变式6】已知命题p：，使得是真命题，求实数m的取值范围. 二、检测过关 一、选择题 1.命题,的否定形式是（ ） A． B． C． D． 2.给出下列命题： ①存在实数x0>1，使x>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数． 其中存在量词命题的个数为(　　)