第11讲 充分条件与必要条件-2021年暑假初升高数学衔接课程（基础版）（全国通用）

【高中新知识预习篇】 第11讲 充分条件与必要条件 一、基本知识及其典型例题 回顾：命题的形式 命题的一般形式为“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． 知识一 充分条件与必要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 特别提醒： (1)p⇒q，q⇏p，p是q的充分不必要条件； (2)p⇏q，q⇒p，p是q的必要不充分条件； (3)p⇏q，q⇏p，p是q的既不充分也不必要条件． 【例1】（充分条件）判断下列说法中，p是q的充分条件的是____________________________________． ①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”； ②p：“a<5”，q：“a<3”； ③设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0” 【变式1】（多选题）下列是“”成立的充分条件的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（必要条件）下列各题中，p是q的必要条件的是________． ①p：x>2 016，q：x>2 015； ②p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，q：0<a<1； ③已知a，b为正实数，p：，q：a>b>1. 【变式2】（多选）设a，b∈R，则下列是“a＞1且b＞1”成立的必要条件是(　　) A．ab>1 B．a＋b＞2 C． D．a－b＞0 【例3】(1)“x为无理数”是“x2为无理数”的 .（填充分条件，必要条件，充分不必要条件，必要不充分条件） （2）“”是“”的__________条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选一个填空）． 【变式3】（1）a>b的一个充分不必要条件是(　　) A．a2>b2 B．|a|>|b| C.< D．a－b>1 （2）“x+y=3”是“x=1且y=2”的 .（填：充分条件，必要条件，充分不必要条件，必要不充分条件） 知识二 充要条件 充要条件 (1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 【例4】（多选题）下列所给的p，q中，p是q的充要条件的是（ ） A.p：“a＋5是无理数”,q:“a是无理数”; B.若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； C.p：|x|>3，q：x2>9； D.p:“a＝b”,q:“ac＝bc”。 【变式4】(1)“a<－1”是“函数y＝x2－2x－a没有零点”的________条件.（填充要条件、充分不必要条件 、必要不充分条件 、既不充分也不必要条件） (2)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． 【例5】（充要性的证明）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【练习5】已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 知识三 充分条件、必要条件和充要条件与集合的关系 A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A⊆B 若A⊆B，则p是q的充分条件， 若AB，则p是q的充分不必要条件 B⊆A 若B⊆A，则p是q的必要条件， 若BA，则p是q的必要不充分条件 A=B 若A＝B，则p，q互为充要条件 A⊈B且B⊈A 则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【例如】“x<2”是“x<3”的充分不必要条件，“x<3”是“x<2”的必要不充分条件． 【例6】“x>0”是x<－1或x>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条件 【练习6】（1）设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （2）设x∈R，则x<π的一个必要不充分条件是 .（请自行选择一个正确的条件填写，答案不唯一） 【例7】已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}． （1）求a的取值范围； （2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【变式7】(1)已知命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． (2)已知p：x<－2或x>10，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的必要条件，求负实数a的取值范围． 二、自我检测 一、选择题 1．已知，，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件