专题02 三角函数与解三角形综合-十年（ 2012-2021年）高考真题数学（理）解答题分类汇编

专题2、三角函数与解三角形综合 【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建 1、记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， . （1）证明： ； （2）若 ，求 . 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论. （2）由题设 ，应用余弦定理求 、 ，又 ，可得 ，结合已知及余弦定理即可求 . 【详解】 （1）由题设， ，由正弦定理知： ，即 ， ∴ ，又 ， ∴ ，得证. （2）由题意知： ， ∴ ，同理 ， ∵ ， ∴ ，整理得 ，又 ， ∴ ，整理得 ，解得 或 ， 由余弦定理知： ， 当 时， 不合题意；当 时， ； 综上， . 【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及 得到 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求 . 【2021年浙江卷】 2、设函数 . （1）求函数 的最小正周期； （2）求函数 在 上的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得 ，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得 ，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）由辅助角公式得 ， 则 ， 所以该函数的最小正周期 ; （2）由题意， ， 由 可得 ， 所以当 即 时，函数取最大值 . 【2020年】 3、（2020·新课标Ⅱ） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求 周长的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由正弦定理可得： ， ， ， . （2）由余弦定理得： ， 即 . （当且仅当 时取等号）， ， 解得： （当且仅当 时取等号）， 周长 ， 周长的最大值为 . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 4、（2020·北京卷）在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a的值： （Ⅱ） 和 的面积． 条件①： ； 条件②： ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ） , ； 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ） , . 【解析】选择条件①（Ⅰ） EMBED Equation.DSMT4 （Ⅱ） 由正弦定理得： 选择条件②（Ⅰ） 由正弦定理得： （Ⅱ） 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 5、（2020·山东卷）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】解法一： 由 可得： ， 不妨设 ， 则： ，即 . 选择条件①的解析： 据此可得： ， ，此时 . 选择条件②的解析： 据此可得： ， 则： ，此时： ，则： . 选择条件③的解析： 可得 ， ， 与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵ , ∴ , ， ∴ ,∴ ,∴ ,∴ , 若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1; 若选②， ,则 , ; 若选③,与条件 矛盾. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 6、（2020·天津卷）在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） . 【解析】 （Ⅰ）在 中，由 及余弦定理得 ， 又因为 ，所以 ； （Ⅱ）在 中，由 ， 及正弦定理，可得 EMBED Equation.DSMT4 ； （Ⅲ）由 知角 为锐角，由 ，可得 EMBED Equation.DSMT4 ， 进而 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 . 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7、（2020·浙江卷）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ． （I）求角B； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I） ；（II） 【解析】（I）由