专题05 解析几何综合-十年（ 2012-2021年）高考真题数学（理）解答题分类汇编

专题5、解析几何综合 【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古 1. 已知抛物线 焦点为，且 与圆 上点的距离的最小值为 ． （1）求 ； （2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值； （2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得 面积的最大值. 【详解】（1）抛物线 的焦点为 ， ， 所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ； （2）抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ， 设点 、 、 ， 直线 的方程为 ，即 ，即 ， 同理可知，直线 的方程为 ， 由于点 为这两条直线的公共点，则 ， 所以，点 、 的坐标满足方程 ， 所以，直线 的方程为 ， 联立 ，可得 ， 由韦达定理可得 ， ， 所以， ， 点 到直线 的距离为 ， 所以， ， ， 由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西 2. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切． （1）求C， 的方程； （2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）抛物线 ， 方程为 ；（2）相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知抛物线与 相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出 坐标，由 ，即可求出 ；由圆 与直线 相切，求出半径，即可得出结论； （2）先考虑 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若 斜率存在，由 三点在抛物线上，将直线 斜率分别用纵坐标表示，再由 与圆 相切，得出 与 的关系，最后求出 点到直线 的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线 ， ， 所以抛物线 的方程为 ， 与 相切，所以半径为 ， 所以 的方程为 ； （2）设 若 斜率不存在，则 方程为 或 ， 若 方程为 ，根据对称性不妨设 ， 则过 与圆 相切另一条直线方程为 ， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意； 若 方程为 ，根据对称性不妨设 则过 与圆 相切的直线 为 ， 又 ， ，此时直线 关于 轴对称， 所以直线 与圆 相切； 若直线 斜率均存在， 则 ， 所以直线 方程为 ， 整理得 ， 同理直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ， 与圆 相切， 整理得 ， 与圆 相切，同理 所以 为方程 的两根， ， 到直线 的距离为： ， 所以直线 与圆 相切； 综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切. 【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用 的对称性，抽象出 与 关系，把 的关系转化为用 表示. 【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建 3. 在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 的轨迹为 . （1）求 的方程； （2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，求直线 的斜率与直线 的斜率之和. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹 是以点 、 为左、右焦点双曲线的右支，求出 、 的值，即可得出轨迹 的方程； （2）设点 ，设直线 的方程为 ，设点 、 ，联立直线 与曲线 的方程，列出韦达定理，求出 的表达式，设直线 的斜率为 ，同理可得出 的表达式，由 化简可得 的值. 【详解】因为 ， 所以，轨迹 是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ， ， 所以，轨迹 的方程为 ； （2）设点 ，若过点 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 无公共点， 不妨直线 的方程为 ，即 ， 联立 ，消去 并整理可得 ， 设点 、 ，则 且 . 由韦达定理可得 ， ， 所以， ， 设直线 的斜率为 ，同理可得 ， 因为 ，即 ，整理可得 ， 即 ，显然 ，故 . 因此，直线 与直线 的斜率之和为 . 【点睛】方法点睛：求定值问题常见方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量