专题03 概率与统计综合-十年（ 2012-2021年）高考真题数学（理）解答题分类汇编

专题3、概率与统计综合 【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、 宁夏、新疆、青海、内蒙古 1、 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 ． （1）求 ， ， ， ； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）． 【答案】（1） ；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差. （2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】（1） ， ， ， . （2）依题意， ， ， ，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西 2、甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）75%；60%； （2）能. 【解析】 【分析】根据给出公式计算即可 【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为 , 乙机床生产的产品中的一级品的频率为 . （2） , 故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. 【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建 3、某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2） 类． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ． ； ； ． 所以 的分布列为 （2）由（1）知， ． 若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ． ； ； ． 所以 ． 因为 ，所以小明应选择先回答 类问题． 【2020年】 4、（2020·新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】 （1）记事件M甲连胜四场，则 ； （2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为 ； （3）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 记事件M甲赢，记事件N丙赢， 则甲赢的基本事件包括： 、 、 、 、 、 、 、 ， 所以，甲赢的概率为 . 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为 . 5、（2020·新课