专题14 数列（解答题）（一轮复习）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）》

专题14 数 列（解答题） 1．已知数列的前n项和为，数列{bn}满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【试题来源】山东省百师联盟2021届高三二轮联考（二） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）首先根据，最后检验首项即可得到数列的通项公式；（2）首先化简，最后裂项相加求和即可． 【解析】（1）列的前n项和为，① 当n＝1时，解得a1＝4， 当n≥2时，②， ①﹣②得（首项符合通项），故． （2）数列满足＝， 所以＝． 【名师点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 2．已知数列是等差数列，且，，数列是递增的等比数列且，． （1）求数列的通项公式； （2）求． 【试题来源】四川省成都市第十二中学（川大附中）2021届高三高考考前模拟考试 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设数列的公差为d，由题意建立方程组，解之可求得数列的通项． （2）由题意，根据等比数列的性质建立方程组，解之可得数列的通项公式，再运用分组求和法可求得答案． 【解析】（1）设数列的公差为d，由题得， 所以，，． （2）由题得，是递增的等比数列， 故解得，，，所以， 所以 ． 3．已知等比数列的前项和为，且． （1）求； （2）定义为取整数的个位数，如， 求的值． 【试题来源】重庆市长寿中学校2021届高三下学期5月考前模拟 【答案】（1）；（2）495． 【分析】（1）根据等比数列及与的关系求解；（2）归纳规律，利用周期性求和即可． 【解析】（1） 是等比数列，，； （2）， 易知，从第二项起，是周期为4的数列， ， . 4．已知是数列的前n项和，且满足对成立． （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前n项和，求使得恒成立的正整数n的最小值． 【试题来源】全国Ⅰ卷2020届高三押题卷（黑卷） 【答案】（1）；（2）最小值为11． 【分析】（1）由数列的递推式：当时，，当时，，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）由对数的运算性质和等差数列的求和公式，解不等式可得所求最小值． 【解析】（1）当时，，解得， 当时，，所以， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以； （2），所以，又 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以， 由，得，解得或(舍去)， 所以n的最小值为11． 【名师点睛】数列的通项与前项和的关系是．当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示． 5．已知是等比数列，，，． （1）求的通项公式； （2），求数列的前项和． 【试题来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三第四次模拟考试 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）为等比数列，，，， 设，，， 化简得，，（舍），． （2），所以， ， ， ， ． 6．已知有限数列共有30项，其中前20项成公差为的等差数列，后11项成公比为的等比数列，记数列的前n项和为．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： 条件①：； 条件②：； 条件③：． （1）的值； （2）数列中的最大项． 【试题来源】黑龙江省大庆铁人中学2021届高三三模拟 【答案】答案见解析． 【解析】选择条件①： （1）因为的前20项成等差数列，， 所以，解得，所以， 因数列后11项成公比为的等比数列，则，所以； （2）的前20项成等差数列，， 则前20项为递增数列，即前20项的最大项为， 数列的后11项成等比数列，， 则后11项是递减数列，即后11项的最大项为， 所以数列的最大项为第20项，其值为40． 选择条件②： （1）因的前20项成等差数列，， 则，解得， 因数列后11项成公比为的等比数列，， 又，，，所以； （2）的前20项成等差数列，， 即前20项为递减数列，前20项的最大项为，因为， ①当时，， 当时，，数列的最大项为第1项，其值为2； ②当时，， 后11项的最大项为，数列的最大项为第21项，其值为18， 所以当时，数列的最大项为第1项，其值为2， 当时，数列的最大项为第21项，其值为18． 选择条件③：， （1）因数列后11项成公比为的等比数列，， 则，解得，有， 又因的前20项成等差数列，，则， 所以； （2）的前20项成等差数列，，即前20项为递减数列，前20项的最大项为， 的后11项成等比数列，而，，， 则后11项为递增数列，后11项的最大项为， 所以数列的最大项为第30项，其值为10240． 7．已知等差数列满足：，，成等差数列，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式 （2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的