专题14 数列（解答题）（一轮复习）-2020-2021学年高二《新题速递•数学》（人教A版2019）

专题14 数 列（解答题） 1．已知等比数列的前项和为，且． （1）求； （2）定义为取整数的个位数，如， 求的值． 【试题来源】重庆市长寿中学校2021届高三下学期5月考前模拟 【答案】（1）；（2）495． 【分析】（1）根据等比数列及与的关系求解；（2）归纳规律，利用周期性求和即可． 【解析】（1） 是等比数列，，； （2）， 易知，从第二项起，是周期为4的数列， ， . 2．已知是等比数列，，，． （1）求的通项公式； （2），求数列的前项和． 【试题来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三第四次模拟考试 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）为等比数列，，，， 设，，， 化简得，，（舍），． （2），所以， ， ， ， ． 3．已知有限数列共有30项，其中前20项成公差为的等差数列，后11项成公比为的等比数列，记数列的前n项和为．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： 条件①：； 条件②：； 条件③：． （1）的值； （2）数列中的最大项． 【试题来源】黑龙江省大庆铁人中学2021届高三三模拟 【答案】答案见解析． 【解析】选择条件①： （1）因为的前20项成等差数列，， 所以，解得，所以， 因数列后11项成公比为的等比数列，则，所以； （2）的前20项成等差数列，， 则前20项为递增数列，即前20项的最大项为， 数列的后11项成等比数列，， 则后11项是递减数列，即后11项的最大项为， 所以数列的最大项为第20项，其值为40． 选择条件②： （1）因的前20项成等差数列，， 则，解得， 因数列后11项成公比为的等比数列，， 又，，，所以； （2）的前20项成等差数列，， 即前20项为递减数列，前20项的最大项为，因为， ①当时，， 当时，，数列的最大项为第1项，其值为2； ②当时，， 后11项的最大项为，数列的最大项为第21项，其值为18， 所以当时，数列的最大项为第1项，其值为2， 当时，数列的最大项为第21项，其值为18． 选择条件③：， （1）因数列后11项成公比为的等比数列，， 则，解得，有， 又因的前20项成等差数列，，则， 所以； （2）的前20项成等差数列，，即前20项为递减数列，前20项的最大项为， 的后11项成等比数列，而，，， 则后11项为递增数列，后11项的最大项为， 所以数列的最大项为第30项，其值为10240． 4．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【试题来源】2021年全国高考甲卷 【答案】答案见解析 【解析】选①②作条件证明③： 设，则， 当时，； 当时，； 因为也是等差数列，所以，解得； 所以，所以． 选①③作条件证明②： 因为，是等差数列，所以公差， 所以，即， 因为，所以是等差数列． 选②③作条件证明①： 设，则， 当时，； 当时，； 因为，所以，解得或； 当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列； 当时，，不合题意，舍去． 综上可知为等差数列． 【名师点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法． 5．已知数列的前n项和为，且，，，． （1）若为等比数列，求a，b满足的条件； （2）若，设，数列的前n项和为，证明：． 【试题来源】安徽省合肥一六八中学2021届高三下学期最后一卷 【答案】（1）且；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据的关系及所给递推关系可得，根据等比数列求解即可；（2）根据裂项相消法求和即可． 【解析】（1）时，，， 两式相减：，所以， 因为，所以且． （2）由（1），， 所以， ，， 是递增数列，，所以． 6．在①，，②（k为常数）这二个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：已知等差数列的前n项和为﹐且_______． （1）求数列的通项公式； （2）在数列的前15项中，是否存在两项，（m，且），使得，，成等比数列．若存在，求出m，t的值；若不存在，请说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 【试题来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（三） 【答案】条件选择见解析，（1），（2）存在，． 【解析】设等差数列的公差为d，． 选条件①： （1）由得解得，， 所． （2）因为成等比数列，所以，即，所以． 因为，所以．又，所以，所以． 又为3的倍数，且，所以或 因为，所以． 选条件②： （1）因为，所以， 由于等差，因此：，从而所以； （2）因为等比数列，所以，即，所以． 因为，所以．又，所以，所以． 又为3的倍数，且，所以或 因为，