第十六讲 全等三角形单元小结与复习 -【暑假辅导班】2021年新八年级数学上册暑假精品课程（人教版）

第十六讲 全等三角形单元小结与复习 【知识梳理】 一、全等三角形的性质 1.定义：能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 2.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 二、三角形全等的判定方法 1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“SAS”). 2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）. 3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）. 4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）. 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”. 三、 角平分线的性质与判定 【考点归纳】 考点一：全等三角形的性质 【例题1】如图，已知△ACE≌△DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2． （1）求AC的长度； （2）试说明CE∥BF． 【答案】见解析。 【解析】（1）∵△ACE≌△DBF， ∴AC=BD，则AB=DC， ∵BC=2，∴2AB+2=8， ∴AB=3，∴AC=3+2=5； （2）∵△ACE≌△DBF， ∴∠ECA=∠FBD， ∴CE∥BF． 方法总结：两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角. 考点二： 全等三角形的判定 【例题2】 已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB． 【答案】见解析。 【解析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定． 证明：在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（ASA ）. 考点三： 全等三角形的性质与判定的综合应用 【例题3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F, 求证：∠DEC=∠FEC. 【答案】见解析。 【解析】证明： ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °. ∵AD平分∠BAC,∴ ∠EAG=∠CAG，. 在△AGE和△AGC中， ∴ △AGE ≌ △AGC(ASA)， ∴ GE =GC. 在△DGE和△DGC中， ∴ △DGE ≌ △DGC(SAS). ∴ ∠DEG = ∠ DCG. ∵EF//BC, ∴ ∠FEC= ∠ECD， ∴ ∠DEG = ∠ FEC. 方法总结：利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线. 考点四：利用全等三角形解决实际问题 【例题4】 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ 【答案】见解析。 【解析】相等，理由如下： ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ADB和Rt△ADC中， ∴ Rt△ADB ≌ Rt△ADC(HL). ∴BD=CD. 方法总结：利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤： （1）先明确实际问题； （2）根据实际抽象出几何图形； （3）经过分析，找出证明途径； （4）书写证明过程. 考点五： 角平分线的性质与判定 【例题5】如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+ ∠BAP=180 °， 求证:PA=PC. 【答案】见解析。 【解析】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °. ∵ ∠PCB+ ∠BAP=180 °,又∠BAP+∠EAP=180 °. ∴ ∠EAP=∠PCB. 在△APE和△CPF中， ∴ △APE ≌ △CPF(AAS)， ∴ AP=CP. 方法总结：角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形. 全等三角形单元新课程过关检测 满分100分，答题时间60分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,点E,BE、CD相交于点O.∠1=∠2,则图中全等三角形共有( ) A．4对 B．3对 C．2对 D．5对 【答案】A 【解析】共有四对．分别为△ADO