江苏省如皋中学2020-2021学年高二下学期数学期末综合复习四

江苏省如皋中学2020-2021学年度第二学期期末数学复习卷四 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合且，，则（ ） A． B． C． D． 2．若纯虚数满足(其中为虚数单位，为实数)，则（ ） A． B． C． D． 3．某班级要从5名男生､3名女生中选派4人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案有（ ） A．20种 B．30种 C．35种 D．65种 4．二项式展开式中，的系数是（ ） A．40 B．10 C．-40 D． 5．已知椭圆的焦距为，右焦点为，过上一点作直线的垂线，垂足为．若四边形为菱形，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．在数1和3之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成等差数列，将这n＋2个数的和记为，则数列的前78项的和为(　　) A. 3 B. log378 C. 5 D. log38 7．人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作，隐性基因记作.成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的，分别用，表示显性基因､隐性基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10．下列命题中是真命题的有（ ） A．存在，，使 B．在中，若，则是等腰三角形 C．在中，“”是“”的充要条件 D．在中，若，则的值为或 11．已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ） （参考数据：①；②； ③） A．这次考试成绩超过100分的约有500人 B．这次考试分数低于70分的约有27人 C． D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 12．在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A．平面 B．与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．平面内存在与和底面交线平行 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则点到轴的距离为_______. 14．已知，，，则的值为_______. 15．在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λμ＝ . 16．已知半径为的球面上有、、、四点，满足，，，则球心到平面的距离为_________，三棱锥体积的最大值为_________. 4、 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，求证． 18．已知函数在处取得最大值. （1）求函数的最小正周期； （2）若的角，，所对的边分别为，，，且，，，求. 19．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 20．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账､微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方､品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了年月日至日这天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下： 参考数据：.附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距. （1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计月日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到). （2）运用分层抽样的方法从第天和第天到该专营店购物的人中随机抽取人，再从这人中任取人进行奖励，求这人取自不同天的概率. （3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 21．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点的周长为，最大时的余弦值为. （1）求椭圆的方程； （2）若和为轴同侧的两点，且，求四边形面积的最大值及此时直线的方程. 22．已知函数. （1）当时，讨论函数在上的单调性； （2）当时，求证：函数(为自然对数的底数)存在唯一极值点且. 江苏省如皋中学2020—2021学年度第二学期高二数学期末数学综合复习四 一、单选题 1．若集合且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】集合，，所以.故选：D. 2．若纯虚数满足(其中为虚数单位，为实数)，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 3．某班级要从5名男生､3名女生中选派4人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案有（ ） A．20种 B．30种 C．35种 D．65种 【答案】C【详解】女生人数2人和3人，女生2人时，需从男生中选2人，女生3人时，需从男生中选1人，所以不同选派方案的种数为. 4．二项式展开式中，的系数是（ ） A．40 B．10 C．-40 D． 【答案】A5．已知椭圆的焦距为，右焦点为，过上一点作直线的垂线，垂足为．若四边形为菱形，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由题意可知，而，所以， 则为正三角形，设椭圆的左焦点为，则，且，， 所以由椭圆的定义可得，即，即， 解得离心率为.故选：D 6．在数1和3之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成等差数列，将这n＋2个数的和记为bn，则数列的前78项的和为(　　)A A. 3 B. log378 C. 5 D. log38 7．人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作，隐性基因记作.成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的，分别用，表示显性基因､隐性基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】父母决定眼皮单双的基因均为，遗传给孩子的基因可能为，，，，所以孩子为双眼皮的概率为.同理孩子卷舌的概率也为.根据相互独立事件的概率公式知孩子是双眼皮且卷舌的概率为.故选：D. 8．已知函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】依题意知为偶函数，其图象关于轴对称，当时，单调递增，且，所以的解集为.将的图象沿轴向右平移个单位长度后可得的图象，所以不等式的解集为.故选:B. 二、多选题 9．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】AC 10．下列命题中是真命题的有（ ） A．存在，，使 B．在中，若，则是等腰三角形 C．在中，“”是“”的充要条件 D．在中，若，则的值为或 【答案】AC【详解】对于A，当时，正确； 对于B，由可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，错误； 对于C，(其中是外接圆的半径)，正确；对于D，因为，，所以. 因为，所以由正弦定理得，从而. 又因为，所以， 从而，错误；故选：AC. 11．已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：①； ②；③） A．这次考试成绩超过100分的约有500人 B．这次考试分数低于70分的约有27人 C． D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 【答案】BD【详解】由题意可知，对于选项A，，，则，则成绩超过100分的约有人，所以选项A错误； 对于选项B，，所以，所以分数低于70分的人数约为0.02275×1200＝27.3，即约为27人，所以选项B正确；对于选项C，，，所以，所以选项C错误； 对于选项D，因为，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人时概率为；②3人均超过100分时的概率为，则至少有2人的分数超过100分的概率为，所以选项D正确；故选：BD． 12．在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A．平面 B．与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．平面内存在直线与和底面交线平行 【答案】BC【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，则，则、、、、、、、. 对于A选项，，，则，故与不垂直，进而可知，与平面不垂直，A选项错误； 对于B选项，，，， 所以，异面直线与所成角的余弦值为，B选项正确； 对于C选项，在正四棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，可得， 平面，平面，则平面， 所以，点到平面的距离为定值，而的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C选项正确；对于D选项，因为平面，所以平面和底面的交线与平行.而与平面相交，D选项错误.故选：BC. 三、填空题 13．已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则点到轴的距离为___________. 【答案】 【详解】抛物线的方程可化为.设. 因为点到焦点的距离为5，所以点到准线的距离为5， 从而，将代入可得， 所以点到轴的距离为.故答案为：. 14．已知，，，则的值为_______. 【答案】 【详解】由题意可知，， 且，即，解得或， 因为，所以．故答案为：. 15．在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λμ＝ . [解析]　由图形可得：＝＋①， ＝－②， ①×2＋②得：2＋＝3，即＝＋，所以λ＝，μ＝，所以λμ＝. 16．已知半径为的球面上有、、、四点，满足，，，则球心到平面的距离为___________，三棱锥体积的最大值为_____. 【答案】 【详解】，所以，为截面圆的直径. 因为，，所以. 由球的性质可知圆面，即为球心到平面的距离. 在中，，，可得， 所以到平面的距离为. 要使三棱锥的体积最大，应为的延长线与球面的交点， 此时点到平面的距离为， 所以三棱锥体积的最大值为.故答案为：；. 四、解答题 17．已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，求证． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【详解】（1）由，得， 因为，所以，所以， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以，即． （2）由得 ， 两式相减，得 ，所以得证． 18．已知函数在处取得最大值. （1）求函数的最小正周期； （2）若的角，，所对的边分别为，，，且，，，求. 【详解】（1） . 由题意可知，可得. 因为，所以，故，所以函数的最小正周期为. （2）由可得， 故或.因为，所以. 由以及余弦定理可得，所以. 因为，所以，所以 由正弦定理可得. 19．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，，. （1）求证：；（2）求二面角的余弦值. 【详解】（1）因为，，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以. （2）如图，作空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则，， 设为平面的一个法向量，则，即，令，则，，故，结合图像易知二面角的余弦值为. 20．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账､微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方､品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了年月日至日这天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下： （1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计月日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到). 参考数据：.附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距. （2）运用分层抽样的方法从第天和第天到该专营店购物的人中随机抽取人，再从这人中任取人进行奖励，求这人取自不同天的概率. （3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 【答案】（1）可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系，月日到该专营店购物的人数约为；（2）；（3）选择方案二更划算. 【详解】解：（1）由表中数据可得，，， ，，所以， 所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系. 而，则， 所以，令，可得.答：月日到该专营店购物的人数约为. （2）因为，所以从第天和第天取的人数分别为和，从而人取自不同天的种数为，所以概率.答：这人取自不同天的概率为. （3）若选方案一，需付款元. 若选方案二，设需付款元，则的取值可能为，，，， 则，， ，， 所以，因此选择方案二更划算. 21．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点的周长为，最大时的余弦值为.（1）求椭圆的方程； （2）若和为轴同侧的两点，且，求四边形面积的最大值及此时直线的方程. 【答案】（1）；（2）面积的最大值，方程为. 【详解】（1）设椭圆的焦距为.由椭圆的定义可知.① 由椭圆的几何性质可知，当为短轴的顶点时，最大，为， 则有.联立①②可得，， 所以，故椭圆的方程为. （2）因为，所以. 延长，交椭圆于点.设，. 由（1）可知，可设直线的方程为. 联立消去可得， 所以，.由对称性可知.设与间的距离为， 则四边形的面积 .令，则. 因为，当且仅当时取等号，所以， 此时，解得，因此直线的方程为． 22．已知函数. （1）当时，讨论函数在上的单调性； （2）当时，求证：函数(为自然对数的底数)存在唯一极值点且. 【详解】（1），， 则. 当时，.令，可得. 当，时，，此时，函数在上单调递减. 当时，，在上，函数单调递减；在上，函数单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上函数单调递增， （2），， 则. 因为，所以与同号. 令，，则. 显然，当时，，函数单调递增， 又，， 所以存在，使得.当变化时，，的变化如下： 极小值 故存在唯一极值点. 由可得，即， 此时. 因为，所以． $