第2讲集合的运算（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第2讲 集合的运算 【复习巩固】 1．下列对象能构成集合的是 （ ） 、2020年央视春节联欢晚会上的所有好看的节目 、我国从1991~2016年发射的所有人造卫星 、2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员 、5，4，4，7 【难度】★ 【答案】 【解析】“好看节目”“高个子”均不确定，故排除、；中含有相同的元素4，故排除，选 2．已知集合，则集合中元素的个数为 ． 【难度】★ 【答案】9 3．用描述法表示平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合为 ． 【难度】★ 【答案】或 4．满足的集合共有 个． 【难度】★★ 【答案】16 【解析】由题意可得集合中必含有元素、2、3，可能含有4、5、6、7中的某些或没有，即求集合的子集的个数，故共有个 5．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”．给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 【难度】★★ 【答案】6 【解析】依题意可知，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，故这样的集合共有6个 【知识梳理】 1.交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 文氏图：用封闭曲线直观地表示集合及其关系的图形成为文氏图（以英国逻辑学家John Veen命名） 2.并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； （1） （2） 3.补集： U A 4集合的综合运算 集合的交、并、补运算的混合运算，以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，常常借助文氏图和数轴解决含有参数的问题，这里端点处的值不太好判断，比较好的方法是求出结果带入端点验证是否符合题意。 5.集合的新定义运算 在对前面集合的交、并、补运算理解的基础上新定义一些集合的运算，根据新定义的内涵解决集合的运算问题 【例题解析】 知识点一：交集 例1．求下列两个集合的交集． (1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－1，0，1，2，3}； (2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}． 【难度】★ 【答案】(1)如图所示，A∩B＝{1，2，3}． (2)结合数轴(如图所示)得：A∩B＝{x|－5<x<－2}． 例2．已知集合，，求； 【难度】★ 【答案】 【解析】表示方程组的解得集合，也可以理解为两个函数图像的交点坐标的集合 例3．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若A∩B＝{9}，求a的值 【难度】★★ 【答案】∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3. 当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}．此时A∩B＝{－4，9}≠{9}．故a＝5舍去． 当a＝3时，B＝{－2，－2，9}，不符合要求，舍去．经检验可知a＝－3符合题意． 例4．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若9∈A∩B，求a的值 【难度】★★ 【答案】∵9∈A∩B且9∈B，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3. 而当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，故舍去．∴a＝5或a＝－3. 例5．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．若A∩B＝B，求a的值； 【难度】★★ 【答案】化简集合A，得A＝{－4，0}． 由于A∩B＝B，则有B⊆A可知集合B或为空集，或只含有根0或－4. ①若B＝∅，由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a<－1. ②若0∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0， 得a2－1＝0，即a＝1或a＝－1， 当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}＝A，符合题意； 当a＝－1时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，也符合题意． ③若－4∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0， 得a2－8a＋7＝0，即a＝7或a＝1， 当a＝1时，②中已讨论，符合题意； 当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，不合题意． 综合①②③得a＝1或a≤－1． 知识点二：并集 例1．求下列两个集合的交集． (1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－1，0，1，2，3}； (2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}． 【难度】★ 【答案】(1)如图所示，A∪B＝{－1，0，1，2，3，4，5}， (2)结合数轴(如图所示)得：A∪B＝R， 例2．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∪B＝B，求a的值． 【难度】★★