第16讲 对数函数（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第16讲 对数函数 【知识梳理】 【例题解析】 知识点一：对数函数的概念与简单运用 例1．求下列函数的定义域 （1） （2） 【难度】★★ 【答案】解：（1）且且 （2） 例2．已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数的定义域。 【难度】★★ 【答案】解：由得, 由于为定义域上的减函数，故得： 1/2≤x-3≤1 ∴7/2≤x≤4。 ∴所求函数的定义域为[7/2，4]。 注意：已知y=f(x)定义域[a,b]，求y=f[g(x)]定义域，只需a≤g(x) ≤b,解x的取值范围即可。 例3．已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围。 【难度】★★ 【答案】解：依题意，恒成立。 （1） 当a=0时，不等式1>0恒成立。 （2） 当a≠0时，有得：0<a<4。 综合（1）、（2），得a∈[0,4). 注意：勿忘讨论二次项系数为零这一情况。 例4．函数 （1） 若其定义域包含一切负实数，求实数a的取值范围 （2） 当时，求y=f(x)的反函数 【难度】★★ 【答案】解：（1）不等式，所以即可 （2）当时，，所以 当时，，所以 知识点二：对数函数的性质与图像问题 例1.由函数图像，画出下列各函数图像。 （1）（2）（3）（4）（5）（6） 【难度】★★ 【答案】 注意：由向右平移1个单位得到，而为偶函数，y轴左侧图像由y轴右侧的图像关于y轴对称而得到。（图中实线为保留部分。虚线为擦除部分） 例2．右图是对数函数的图像，已知a取则相应于C1C2C3C4的a值依次为 。 【难度】★★ 【答案】解题策略：根据对数函数底数在第一象限由左向右、从小到大分布规律解答。 解： 注意：x=1时，左侧0<a<1, 在x=1右侧a>1。 例3．已知，试确定m和n的大小关系。 【难度】★★ 【答案】解法一：分三种情况，令y1=logm5,y2=logn5, (1) 当时，如图（1）有1<m<n。 (2) 当时，如图（2）有0<m<n<1。 (3) 当时，如图（3）有0<n<1<m 注意：本题也应用了图像在第一象限的分布规律。 解法二： （1）当时，则，所以1<m<n。 （2）当时，则，所以0<m<n<1。 （3）当时，则有0<n<1<m 知识点三：对数函数与指数函数的关系 例1．函数y=的图像过点（9,2），求的值。 【难度】★★ 【答案】解：的图像过点（9,2），得,即a=3。 ， 注意：本题运用了结论 例2．将y=2x的图像：（ ）再作关于y=x对称图像，可得到函数y=log2(x+1)的图像。 （A）先向左平行移动1个单位 （B）先向右平行移动1个单位 （C）先向上平行移动1个单位 （D）先向下平行移动1个单位 【难度】★★ 【答案】解：y=log2(x+1)的反函数是y=2x-1，因此只要把y=2x的图像向下平移1个单位，就得到y=2x-1的图像，再作它关于直线y=x的对称图像，就可得到y=log2(x+1)的图像，故选（D） 注意：两个函数图像若关于直线y=x对称，则它们互为反函数。 考点四：对数函数与函数性质的综合应用 例1．（1）求函数y=lg(x+1)的值域。 （2）求函数的值域。 （3）函数值域为R，求实数a范围。 【难度】★★ 【答案】解：（1）定义域为（-1，+∞），t=x+1∈（0，+∞）→y∈R。 （2）定义域为（-∞，0）∪（1，+∞），令,则t∈（0，+∞）→y∈R。 （3）依题意有a=0或,则a∈[0,1/4]。 注意：值域为R的条件为a≠0. 值域为R的条件为a>0,且△≥0或a=0且b≠0. 例2．求函数的最值。 【难度】★★ 【答案】解：令则t∈[-1,-1/2]，有+4 ∴当t=-1,即x=4时，；当t=-1/2即x=2时，。 注意：换元后，求出新变量范围。 例3．解不等式 【难度】★★ 【答案】 注意：常转化为。 例4．解不等式. 【难度】★★ 【答案】解：原不等式等价于： 综上：不等式的解集为(0,1/2)∪(1,+∞)。 注意：结论是求（1）、（2）两种情况的并集。 例5．已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围。 【难度】★★ 【答案】解：该函数为复合而成， 外函数为定义域上减函数， 依题意，内函数在上应为减函数，又真数大于零， 得：解得： 注意：（1）勿忘真数部分大于0。 （2）要使x∈时，u(x)>0,只需,勿忽略“=”，因区间为开区间！ 【反思总结】 对数函数是在学习指数函数、对数基础上引入的。通过指数函数与对数的联系，掌握对数函数的概念、图像、性质并能应用，同时能够灵活解决对数函数和函数性质的综合题目、对数函数应用题；在解决问题中，通过数形结合，分类讨论等数学思想方法，发展逻辑思维能力，提高信息检查