第15讲 指数函数（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第15讲 指数函数 【知识梳理】 【例题解析】 知识点一：指数函数的定义与图像 例1． （专题12 指数函数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020））如图所示：曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则a，b，c，d 与1的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据指数函数的单调性，确定a，b，c，d与1的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数， 所以c，d大于1，a，b小于1， 由图知： ，即， ，即 ， 所以， 故选：D 例2． （2021·上海高一期末）已知，则函数的图像必定不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项. 【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限， 且当越来越大时，图象与轴无限接近. 因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限. 故选：A． 例3． （2020·上海市新场中学高一月考）在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的横截距和纵截距的大小，结合幂函数的图象的增减性可得选项. 【详解】由得，所以一次函数与x轴交于，与y轴交于，故排除B选项； 对于A选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故A选项不正确；对于D选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故D选项不正确；对于C选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故C选项正确； 故选：C. 例4． （2020·上海市松江二中高一期中）若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与有公共点，转化为与有公共点，结合函数图象，可得结果. 【详解】与有公共点，即与有公共点，图象如图 可知 故选：B 【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目. 例5． （2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为 A．t≤–1 B．t<–1 C．t≤–3 D．t≥–3 【答案】A 【分析】由指数函数的性质，可得函数恒过点坐标为，且函数是增函数，图象不经过第二象限，得到关于的不等式，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A． 【点睛】 本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，特别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 例6． （2021·上海高一期中）指数函数的图像经过点，则该指数函数的表达式为______． 【答案】 【分析】根据指数函数图象过点，代入解得的值． 【详解】解：指数函数且的图象经过点， 所以，解得， 所以该指数函数的表达式为． 故答案为：． 例7． （2021·华东师范大学第三附属中学高一月考）若函数的图像恒过定点，则该定点坐标为________． 【答案】 【分析】根据指数函数过定点，并结合函数图象平移变换即可得答案. 【详解】解：因为函数函数的图像恒过定点， 函数图像向上平移一个单位即可得到的图像， 所以函数的图像恒过定点. 故答案为： 例8． （2020·上海市行知中学高一月考）函数的图像必经过点，则点的坐标是_________． 【答案】 【分析】结合指数幂的运算和指数函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数， 令，可得，即函数的图象必过点. 故答案为：. 例9． （2020·上海市金山中学高一月考）函数的图象恒过定点，则该定点坐标是__________. 【答案】 【分析】根据函数的解析式可求定点坐标. 【详解】当时，对应的函数值为，故函数的图象过定点， 故答案为： 例10． （专题12 指数函数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020））已知，求函数的值域 【答案】 【分析】首先解指数不等式得到，再根据函数的单调性求值域即可. 【详解】， 而函数在区间上是增函数， 所以，函数的值域为. 例11． （专题12 指数函数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020））已知，求函数的最大值 【答案】2 【分析】首先解指数不等式得到，设得到，再求函数的最大值即可. 【详解】， 解得，即. ， 令，因为，所以. 所以. 当时，. 例12． （专题21 期中复习-2020-2021学年新教材高一数学秋