第03讲 函数及其表示 （讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）

第03讲 函数及其表示 【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析 【课标解读】 1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域. 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法. 3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题. 【备考策略】 1．理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法； 2．以分段函数为背景考查函数的相关性质问题. 【核心知识】 知识点1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A． 知识点2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 知识点3．函数的表示方法 (1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法． (2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法． (3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法． 知识点4．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等． 知识点5．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 知识点6．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 【高频考点】 高频考点一 求函数的定义域 例1.（2020·北京卷）函数的定义域是____________． 　 【方法技巧】 1.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 【举一反三】（2021·安徽省巢湖市四中模拟）函数y＝＋log2(tan x－1)的定义域为________； 【变式探究】（2019·江苏卷）函数的定义域是 . 高频考点二 求函数的解析式 例2.（2021·福建省厦门市一中模拟）已知f (x)是一次函数，且f (f (x))＝4x＋3，则f (x)的解析式为________． 【方法技巧】函数解析式的常见求法 (1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换． (2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可． (3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围． (4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 【举一反三】（2021·江西省庐山中学模拟）已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________. 【变式探究】（2021·河北衡水模拟）已知f ＝＋，则f (x)＝(　　) A．(x＋1)2 B．(x－1)2 C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1 高频考点三 分段函数求值 例3.（2021·山东省曲阜一中模拟）设f (x)＝则f (f (1))的值