第04讲 函数的单调性与最值 （讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）

第04讲 函数的单调性与最值 【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算 【课标解读】 1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性. 2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值. 【备考策略】 1.确定函数的最值（值域） 2.以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查. 【核心知识】 知识点一 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点二 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【特别提醒】 1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 2.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，]. 【高频考点】 高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间) 例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数，则f(x)（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 【方法技巧】确定函数单调性的方法 (1)定义法．利用定义判断． (2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 【举一反三】（2021·陕西省咸阳中学模拟）求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间． 【变式探究】（2021·四川省遂宁中学模拟）函数f (x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　) A． B．和[2，＋∞) C．(－∞，1]和 D．和[2，＋∞) 高频考点二 确定含参函数的单调性(区间) 例2.（2021·广东省肇庆中学模拟）试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法： (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间． (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断； 【变式探究】（2021·安徽蚌埠模拟）判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性． 高频考点三 解函数不等式 例3.（2021·河北承德模拟）定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[－1,1)【方法技巧】求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用． 【举一反三】（2021·湖南省娄底市二中模拟）已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________． 【变式探究】（2021·湖北省黄冈模拟）已知函数f (x)＝ln x＋2x，若f (x2－4)<2，则实数x的取值范围是________． 高频考点四 利用函数的单调性求参数取值范围 例4.（2021·河南省许昌模拟）函数f (x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数