第05讲 函数的奇偶性与周期性 （讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）

第05讲 函数的奇偶性与周期性 【学科素养】数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象 【课标解读】 1.抽象函数的奇偶性与周期性； 2.利用奇偶性与周期性求参数取值范围； 3.函数性质的综合应用问题. 【备考策略】 1.判断函数的奇偶性与周期性； 2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数加以考查． 【核心知识】 知识点一 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 知识点二 函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【特别提醒】 1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 【高频考点】 高频考点一 函数奇偶性的判定 例1．【2020·全国Ⅱ卷】设函数，则f(x) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法： 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． (2)图象法： f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数； f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。 (3)性质法： 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 【举一反三】(2021·湖北省丹江口市一中模拟)设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是(　　) A．|g(x)|是偶函数　　　　 B．f(x)g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数 【变式探究】【2020年高考浙江】函数y=xcos x+sin x在区间[–π，π]上的图象可能是 高频考点二 函数奇偶性的应用 例2．【2020·江苏卷】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则的值是 ． 【方法技巧】与函数奇偶性有关的问题及解题策略 (1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解． (2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． (3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解． 【举一反三】(2019·全国卷Ⅱ)设f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝ex－1，则当x<0时，f (x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 【变式探究】(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________. 高频考点三 函数的周期性 例3. (2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)