第06讲 二次函数与幂函数 （讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）

第06讲 二次函数与幂函数 【学科素养】数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析 【课标解读】 1.了解二次函数、幂函数的概念，掌握幂函数，，的图象和性质。 2.了解幂函数的变化特征。 【备考策略】 1.与二次函数相关的单调性、最值问题，除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质； 2.幂函数的图象与性质的应用； 3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质。 【核心知识】 知识点一 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点二 二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【特别提醒】 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0. 【高频考点】 高频考点一 幂函数的图象与性质 例1.(2018·上海卷)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 【方法技巧】幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.　 【变式探究】(2021·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f (x)＝(m－1)xn的图象上．设a＝f ，b＝f (ln π)，c＝f (2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．b<a<c 【变式探究】(2021·山西省晋城模拟)当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________． 高频考点二 求二次函数的解析式 例2.(2021·辽宁省鞍山模拟)已知二次函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (0)＝3，对∀x∈R，都有f (1＋x)＝f (1－x)成立，则f (x)＝________. 【方法技巧】求二次函数解析式的策略 （1）已知三点坐标，选用一般式 （2）已知顶点坐标、对称轴、最值，选用顶点式 （3）已知与x轴两点坐标，选用零点式 【变式探究】(2021·吉林省四平模拟)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 高频考点三　二次函数的图象及应用 例3.(2021·黑龙江省双鸭山模拟)已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 【变式探究】(2021·江苏省常州模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1. 下面四个结论中正确的是(　　) A． b2<4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a<b 高频考点四 二次函数的单调性 例4.（2021·广东广雅中学模拟）已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3,0)　　　　　　　 B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 【方法技巧】 (1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨