第08讲 对数与对数函数 （讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）

第08讲 对数与对数函数 【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析 【课标解读】 1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式. 2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 3.了解对数函数的变化特征. 【备考策略】 1.对数运算的运算； 2.对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小； 3.图象过定点； 4.底数分类讨论问题. 【核心知识】 知识点一 对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 知识点二 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 知识点三 对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 知识点四 反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 【特别提醒】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝；(2)logambn＝logab. 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限. 【高频考点】 高频考点一　对数的化简与求值 例1．【2020·全国Ⅲ卷】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【方法技巧】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【举一反三】(2021·杭州市七校联考)计算：若a＝log43，则2a＋2－a＝________ 【变式探究】(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A． B． C． D． 高频考点二 对数函数图象及其应用 例2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) A　　　　　　B C　　　　　　 D 【方法技巧】 (1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【变式探究】（2021·湖北武汉模拟）已知函数f (x)＝关于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________． 高频考点三 比较对数值的大小 例3．【2020·全国Ⅱ卷】若2x−2y<3−x−3−y，则 A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0 C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0 【举一反三】【2019·天津卷】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A． B． C． D． 【方法技巧】 （1）若对