河北省衡水市桃城区第十四中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷

2020-2021学年度第二学期高二年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题,每小题5分） 1.设集合 ， .则 的元素个数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2.已知 ，则 （ ） A． B． C. D． 3.已知抛物线 上的点 到其准线的距离为 ，则 （ ） A． B． C． D． 4. 的展开式中 的系数为（ ） A．25 B． C．15 D． 5.已知函数 ，设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 6.向量 ， 满足 ， ．若 的最小值为 ，则 （ ） A．0 B．4 C．8 D．16 7.已知函数 ，则（ ）． A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称 C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递减 8.如图，在棱长为2的正方体 中，E是棱 的中点，则过三点 的截面面积等于（ ） A． B． C． D．3 二、多选题（本大题共4小题,每小题5分） 9.设复数 （ 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．“ ”的充要条件是“ ” D．若 ， ，则复数 在复平面上对应的点在第一或第二象限 10.为了解目前某市高一学生身体素质状况，对该市某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩 ，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是（ ） 参考数据：随机变量 ，则 ， ， ． A．该校学生体育成绩的方差为10 B．该校学生体育成绩的期望为70 C．该校学生体育成绩的及格率不到85% D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当 11．已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则（ ） A． B． C． D． 12．已知函数 满足当 时， ，当 时， ．若方程 在 上的根从小到大排列恰好构成一个等差数列，则下面的数可能在这个数列中的是（ ） A． B．2020 C．2021 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题,每小题5分） 13.命题“ ， 成立”的否定为_____ ____. 14．函数 的最小值为___________. 15．若存在两个不相等的正实数 ， ，使得 成立，则实数 的取值范围是________. 16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物．将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为__________；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是__________． 四、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知 是数列 的前 项和， ， ， ． （1）证明：数列 是等比数列； （2）求 ． 18. （本小题满分12分）如图，在平面四边形 中，已知 ， . （1）当 ､ ､ ､ 共圆时，求 的值； （2）若 ，求 的值. 19. （本小题满分12分）如图，在四棱台 中，底面为矩形，平面 平面 ，且 . （1）证明： 平面 ； （2）若 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值. 20. （本小题满分12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据 盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫( )内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛. （1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度 (秒)与训练天数 (天)有关，经统计得到如表的数据： (天) 1 2 3 4 5 6 7 (秒) 990 990 450 320 300 240 210 现用 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度 约为多少秒？ 参考数据(其中 ) 1845 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， . （2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为 ，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率. 21. （本小题满分12分）已知点 到 的距离与它到直线 的距离之比为 ． （1）求点 的轨迹 的方程； （2）若 是轨迹 与 轴负半轴的交点，过点