专题3 复数（知识点串讲）-2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019·浙江）

2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019·浙江） 专题3 复数 【知识网格】 【知识讲练】 知识点一 复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． 一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0. (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模： 向量eq \o(OZ,\s\up7(―→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2). 例1.【多选题】（2021·浙江高一期末）下面关于复数 （i是虚数单位）的叙述中正确的是（ ） A．z的虚部为 B． C． D．z的共轭复数为 【变式训练1-1】（2020·浙江省高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ） A．1 B．–1 C．2 D．–2 【变式训练1-2】（2021·浙江高一期末）已知复数 ，i为虚数单位． （1）当z是纯虚数时，求m的值； （2）当 时，求z的值． 【规律方法】 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解． 知识点二 复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． eq \x(复数z＝a＋bia，b∈R的对应点的坐标为a，b，而不是a，bi.) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \o(OZ,\s\up7(―→)). 例2.（2021·浙江高一期末）若复数 与它的共轭复数 所对应的向量互相垂直，则 _______． 【变式训练2-1】【多选题】（2021·江苏苏州市·高一期中）已知复数z在复平面上对应的点为 ， 为虚数单位，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 是实数 【变式训练2-2】（2021·浙江高一期末）若 （i是虚数单位， ）对应的点在复平面内位于第四象限，则（ ） A． B． C． D． 或 【方法技巧】 1．复数z、复平面上的点Z及向量eq \o(OZ,\s\up15(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \o(OZ,\s\up15(→)). 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 3. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 . 4.提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq \r(x2＋y2)，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离． 知识点三 复数的运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)． 2.复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3.【常用结论】 (1)(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)； i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． (4)z·eq \x\to(z)＝|z|2＝