第六章 高考专题突破三 高考中的数列问题（作业）-2020高考文科数学【步步高】大一轮复习讲义（江苏专用）

高考专题突破三　高考中的数列问题 题型一　子数列问题 例1 设无穷数列{an}满足：∀n∈N*，an<an＋1，an∈N*.记bn＝，cn＝(n∈N*)． (1)若bn＝3n(n∈N*)，求证：a1＝2，并求c1的值； (2)若{cn}是公差为1的等差数列，问{an}是否为等差数列？证明你的结论． 解　(1)因为an∈N*，所以若a1＝1， 则b1＝＝a1＝1，与b1＝3矛盾， 若a1≥3＝，由an<an＋1， 可得1≥a1≥3矛盾， 所以a1＝2. 于是a2＝aa1＝3，从而c1＝＝＝b2＝6. (2){an}是公差为1的等差数列，证明如下： 由an＋1>an，可知当n≥2时，an>an－1， 所以an≥an－1＋1，所以an≥am＋(n－m)(m<n)， 所以≥＋an＋1＋1－(an＋1)， 即cn＋1－cn≥an＋1－an，由题设，1≥an＋1－an. 又an＋1－an≥1， 所以an＋1－an＝1，即{an}是等差数列． 思维升华 子数列问题的关键是找清数列的项an与其序号n的关系，进而写出通项公式． 跟踪训练1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，S6＝22. (1)求Sn； (2)若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{ }，其中k1＝1，且k1<k2<…<kn<…，kn∈N*，当q取最小值时，求{kn}的通项公式． 解　(1)设等差数列的公差为d，则S6＝6a1＋15d＝22. 因为a1＝2，解得d＝， 所以an＝n＋， Sn＝n＝(n∈N*)． (2)因为数列{an}是正项递增等差数列，所以数列{}的公比q>1. 要使q最小，只需要k2最小即可． 若k2＝2，则由a2＝，得q＝＝， 此时＝2×2＝. 由＝(n＋2)，解得n＝∉N*，所以k2>2. 同理k2>3. 若k2＝4，则由a4＝4，得q＝2，此时＝2n. 因为＝(kn＋2)， 所以(kn＋2)＝2n，即kn＝3×2n－1－2， 所以对任何正整数n，是数列{an}的第3×2n－1－2项，且最小的公比q＝2，则kn＝3×2n－1－2(n∈N*)． 题型二　新数列问题 例2 (2018·扬州模拟)对于数列{xn}，若对任意n∈N*，都 有xn＋2－xn＋1>xn＋1－xn成立，则称数列{xn}为“增差数列”．设an＝，若数列a4，a5，a6，…，an(n≥4，n∈N*)是“增差数列”，则实数t的取值范围是________． 答案　 解析　数列a4，a5，a6，…，an(n≥4，n∈N*)是“增差数列”， 故得到an＋2＋an>2an＋1(n≥4，n∈N*)， 即＋ >2(n≥4，n∈N*)， 化简得到(2n2－4n－1)t>2(n≥4，n∈N*)， 即t>对于n≥4恒成立， 当n＝4时，2n2－4n－1有最小值15， 故实数t的取值范围是. 思维升华 根据新数列的定义建立条件和结论间的联系是解决此类问题的突破口，灵活对新数列的特征进行转化是解题的关键． 跟踪训练2 (1)(2018·江苏省海门中学考试)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{an}是等积数列且a1＝2，前21项的和为62，则这个数列的公积为________． 答案　0或8 解析　当公积为0时，数列a1＝2，a2＝0，a3＝60，a4＝a5＝…＝a21＝0满足题意； 当公积不为0时，应该有a1＝a3＝a5＝…＝a21＝2， 且a2＝a4＝a6＝…＝a20， 由题意可得，a2＋a4＋a6＋…＋a20＝62－2×11＝40， 则a2＝a4＝a6＝…＝a20＝＝4， 此时数列的公积为2×4＝8. 综上可得，这个数列的公积为0或8. (2)(2018·盐城模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”若{an}是“斐波那契数列”，则(a1a3－a)(a2a4－a)(a3a5－a)…·(a2 017·a2 019－a)的值为________． 答案　1 解析　因为a1a3－a＝1×2－12＝1， a2a4－a＝1×3－22＝－1， a3a5－a＝2×5－32＝1， a4a6－a＝3×8－52＝－1， …， a2 017a2 019－a＝1， 共有2 017项，所以 (a1a3－a)(a2a4－a)(a3a5－a)…(a2 017a2 019－a)＝1. 题型三　数列与不等式 例3 已知数列{an}中，a1＝，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2，n∈N*)． (1)求证：数列是等差数列； (2)证明：S1＋