热点14 含参不等式恒成立问题-2022年高考数学核心热点突破（全国通用版）【学科网名师堂】

热点14 含参不等式恒成立问题 规律方法总结 已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。为了对含参不等式恒成立问题的解题方法有较全面的认识，本文以2010年高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和提炼，供大家参考。 一 分离参数，转化为求函数的最值 对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。 二 分离参数，转化为求函数的确界 如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念： 三 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值 对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，如例3，我们可以把含参不等式整理成或的形式，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值。在解题过程中常常要用到如下结论： （1）如果有最小值，则恒成立，恒成立； （2）如果有最大值，则恒成立，恒成立。 经典例题解析 一 分离参数，转化为求函数的最值 对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。 例1 已知函数 （Ⅰ）若，求的取值范围 （Ⅱ）证明: 解析：（Ⅰ） ，由得，令，于是，问题化为求函数的最大值。，当时，；当时，。当时，有最大值， （Ⅱ）略。 评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）恒成立；（2）恒成立；（3）恒成立。（4）恒成立。 二 分离参数，转化为求函数的确界 如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念： 函数 的上确界为，记作；函数 的下确界为，记作。于是，有如下结论：（1）若无最大值，而有上确界，这时要使恒成立，只需。（2）若无最小值，而有下确界，这时要使恒成立，只需。 例2 已知函数，对任意的，恒有 （Ⅰ）证明：当时， （Ⅱ）若对满足题设条件的任意，，不等式恒成立，求的最小值。 解析：（Ⅰ）略。 （Ⅱ）由即恒成立，得 从而，等号当且仅当，即时成立 （1）当 时， ，令，则，则 因为函数 （）的最大值不存在，但易知其上确界为 （2）当时，或0，，从而恒成立 综合（1）（2）得的最小值为 例3 设函数 （Ⅰ）若，求的单调区间。 （Ⅱ）若时，，求的取值范围。 解析：（Ⅱ）由对所有的成立，可得 （1）当时，； （2）当时，，设，问题转化为求的最小值或下确界。，令，因为，，又的二阶导数，的三阶导数，所以是增函数，故，所以增函数，故，所以是增函数，故，从而，于是在上单调递增，故无最小值，此时，由于无意义，但运用极限知识可得。由洛必达法则可得： 故时，。因而，综合（1）（2）知取值范围为。 评析：用分离参数法求解本题，最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界，应用洛必达法则求超出了中学所学知识范围。显然，这不是命题者的意图。因此，我们应该探求这类问题的另一种更为一般地思考途径。 三 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值 对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，如例3，我们可以把含参不等式整理成或的形式，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值。在解题过程中常常要用到如下结论： （1）如果有最小值，则恒成立，恒成立； （2）如果有最大值，则恒成立，恒成立。 例4。已知函数 其中 （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程， （Ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围 解析：（Ⅰ）略。 （Ⅱ），令，解得或 （1）若，则，于是当时，；当时，。所以当时，有极大值。于是时，等价于解得 （2）若，则，于是当时，；当时，， 当时，。所以，当时，有最大值，当时，有最小值。于是时，等价于解得或，因此， 综合（1）（2）得 。 跟踪训练 1．已知函数. （1）若有两个零点，求的取值范围； （2）设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 把函数有两个零点，转化为与的图象有两个交点，，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可求解； （2）根据题意转化为在上恒成立，令，求得，令，利用导数求得函数在上为增函数，得到，使得，进而得出函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，；当时，， 要使得函数有两个零点，即与的图象有两个交点，如图所示， 可得，即，