热点11 平面向量中涉及三角形的“心”问题的处理策略-2022年高考数学核心热点突破（全国通用版）【学科网名师堂】

热点11 平面向量中涉及三角形的“心”问题的处理策略 规律方法总结 （一）三角形各心的概念介绍 1、重心——三角形的三条中线的交点； 2、垂心——三角形的三条垂线的交点； 3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）； 4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心） 根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等． （二）三角形各心的向量表示 （1）O是的重心； （2）O是的垂心； （3）O是的外心(或)； （4）O是的内心 ； 注意：向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线) （三）三角形的“四心”与平面向量 向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。 与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： 设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心; 设，则向量必平分∠BAC的邻补角 设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心 △ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心 点是△ABC的外心 点是△ABC的重心 点是△ABC的垂心 点是△ABC的内心 (其中a、b、c为△ABC三边) △ABC的外心、重心、垂心共线，即∥ 设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，，I为△ABC的内心， 则有 并且重心G（，） 内心I（，） 经典例题解析 一、重心问题 三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上. 例1  已知O是平面上一 定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（     ） Ａ  外心     Ｂ  内心    C  重心    D  垂心 二、垂心问题 三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上. 例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（  　）. A．外心　    B．内心　    C．重心　     D．垂心 三、内心问题 三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例3已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔  〕. A、重心     B、垂心     C、外心        D、内心 四、外心问题 三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上. 例4 已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔  〕. A．重心          B.垂心          C.外心         D.内心 跟踪训练 1：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足 ，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 A F E C T B （C）重心 （D）垂心 2：设为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足 ，则点O是三角形ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 5、已知向量满足条件，，求证：是正三角形． 6、O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 7、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = 　． 8、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（　 ）． A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 9　在内求一点，使最小． 10　已知为所在平面内一点，满足，则为的　　　心． 11　已知为的外心，求证：． 原创精品资源学科网