热点09 放缩法在求解数列中的应用-2022年高考数学核心热点突破（全国通用版）【学科网名师堂】

热点09 放缩法在求解数列中的应用 规律方法总结 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十四种： 一、裂项放缩 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (16) 经典例题解析 例1.(1)求的值; (2)求证:. 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证： 例3.求证: 例4.已知,求证: . 例5.已知,,求证:. 例6已知,, 求证: 二、函数放缩 例7.求证：. 例8求证: 三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之. 姐妹不等式:和也可以表示成为和 例9.证明: 四、分类放缩 例10.求证: 例11. 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,. (1)证明>>4，; (2)证明有，使得对都有<. 例12.已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 例13. 设不等式组表示的平面区域为, 设内整数坐标点的个数为.设, 当时,求证:. 五、迭代放缩 例14. 已知,求证:当时, 例15. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|< 六、借助数列递推关系 例16.求证: 例17. 求证: 七、分类讨论 例18.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数， 有 八、线性规划型放缩 例19. 设函数.若对一切，，求的最大值。 九、均值不等式放缩 例20.设求证 例21.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为， 求证： 例22.已知为正数，且，试证：对每一个，. 十、二项放缩 ,, 例23. 已知证明 例24.已知a+b=1,a>0,b>0,求证： 例25.已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条件： ① 对于任意[0,1]，总有，且；② 若则有 （Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求证：fx≤4； （Ⅲ）当时，试证明：. 例26. 已知： 求证： 十一、部分放缩(尾式放缩) 例27.求证: 例28.已知数列的首项,,． (1)证明:对任意的,,; (2)证明:. 十四、经典题目方法探究 探究1. 已知函数.若在区间上的最小值为, 令.求证:. 探究2.设函数.如果对任何，都有，求的取值范围 变式：若,其中且,,求证: . ★同型衍变:已知函数 .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围. 跟踪训练 1.证明: 2.. 已知证明 3.已知函数若 4.已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立， 求证： 5. 若,求证: 6.求证 7.已知,求证: 8.若,求证:. 9.已知函数,.对任意正数, 证明：． 10.求证: 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $ 热点09 放缩法在求解数列中的应用 规律方法总结 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十四种： 一、裂项放缩 (1) (2) (3) (4) (5) (6)