第三章 第二节 导数与函数的单调性-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第2节 导数与函数的单调性 知识回顾 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f′(x)≥0 f (x)在(a，b)内单调递增 f′(x)≤0 f (x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f (x)在(a，b)内是常数函数 课前检测 1.在下列结论中，正确的结论共有． ① 单调增函数的导函数也是单调增函数 ② 单调减函数的导函数也是单调减函数 ③ 单调函数的导函数也是单调函数 ④ 导函数是单调的，则原函数也是单调的 (　　) A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】导函数的单调性与原函数的单调性没有必然关系，导函数的正负与原函数的单调性有关，因此四个命题无一正确，选A 【备注】此题是概念辨析题 单调性与导函数的关系的理解是解决后续问题的基础，因此在最初讲解时应该注意多引用具体函数为例充分说明，不要在讲解最初留下误解．导函数的正负与原函数的增减的关系一定要明确． 导函数最重要的功能就是判断函数单调性，之前我们学习了好久的求导函数的各种方法与运算法则就是为了今天的应用做准备，在学习了导函数求单调性后我们研究函数的方式将得到飞跃． 2.下列命题中，正确的是(　　) A．若在内是严格增函数，则对任何都有 B．若在内对任意都有，则在内是严格增函数 C．若在内为单调函数，则也为单调函数 D．若可导函数在内有，则在内有 【答案】B 【解析】由之前结论可知 B选项正确， A中可允许导函数为零 C中导函数单调性与原函数单调性无必然联系 D中导函数正负与原函数的正负也无必然联系． 【备注】此题是概念辨析题 3.函数的单调增区间是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 4.【2021年3月江苏南京南京市第一中学高二下学期月考数学试卷】函数 的单调减区间是________． 【答案】 【解析】依题意，可求得 ，由 即可求得函数 的单调减区间． ， ， 令 由图得：． ​​​ 函数 的单调减区间是 ． 故答案为：． 【备注】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题． 5．若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________． 答案　(0,2] 解析　由y′＝1－≥0，得x≤－a或x≥a. ∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)． ∵函数在[2，＋∞)上单调递增， ∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又a>0，∴0<a≤2. 6．已知函数f (x)＝x2(x－a)． (1)若f (x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是________________； (2)若f (x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________． 答案　(1)(－∞，3]∪　(2) 解析　由f (x)＝x3－ax2，得 f′(x)＝3x2－2ax＝3x. (1)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝， 若f (x)在(2,3)上单调递减，则有≥3，解得a≥； 若f (x)在(2,3)上单调递增，则有≤2，解得a≤3， 所以若f (x)在(2,3)上单调，实数a的取值范围是(－∞，3]∪. (2)若f (x)在(2,3)上不单调，则有 可得3<a<. 课中讲解 考点一.不含参的函数的单调性 例1.函数 的单调递减区间为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】定义域为 解不等式 可得解集为 【备注】优先考虑函数定义域 变式1.函数 的单调递减区间为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数 的导数为 令 ， 结合函数的定义域，得当 时，函数为单调减函数 因此，函数 的单调递减区间是 故选 A 【备注】本题考查考查函数的单调区间的求法，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，属于基础题 例2.函数 ，则(　　) A． 在 内是减函数 B． 在 内是增函数 C． 在 内是减函数 D． 在 内是增函数 【答案】A 【解析】，当 时，， 所以 在 内是减函数． 变式2．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x)＝xsin x＋cos x，则f (x)的单调递增区间是______________________． 答案　和 解析　f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x. 令f′(x)＝xcos x>0， 则其在区间(－π，π)上的解集为∪， 即f (x)的单调递增区间为和. 考点二.含参的函数的单调性 例1.已知函数 ，试讨论函数 的单调性． 【答案】当 时，函数 在 单调递增，在 单调递减 当 时，函数 在 单调递减，在 单调递增 【解析】