热点08 利用“不动点”法巧解数列问题-2022年高考数学核心热点突破（全国通用版）【学科网名师堂】

热点08：利用“不动点”法巧解数列问题 规律方法总结 由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。 经典例题解析 1 不动点的定义 一般的，设 的定义域为 ,若存在 ，使 成立，则称 为 的 不动点，或称 为 图像的不动点。 2 求线性递推数列的通项 定理1 设 ，且 为 的不动点， 满足递推关系 ， ，证明 是公比为a的等比数列。 证：∵ 是 的不动点，所以 ，所以 ，所以 EMBED Equation.2 ，∴数列 是公比为 的等比数列。 例1 已知数列 的前 项和为 ，且 ， (1)证明： 是等比数列；(2)求数列 的通项公式，并求出使得 成立的最小正整数 . 证：(1) 当n(1时，a1((14；当 时，an(Sn(Sn(1((5an(5an(1(1，即 即 ，记 ，令 ，求出不动点 ，由定理1知： ，又a1(1( (15 ≠0，所以数列{an(1}是等比数列。(2)解略。 3 求非线性递推数列的通项 定理2 设 ，且 是 的不动点，数列 满足递推关系 ， ，（ⅰ）若 ，则数列 是公比为 的等比数列；（ⅱ） ，则数列 是公差为 的等差数列。 证：（ⅰ）由题设知 ； 同理 ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.2 ， 所以数列 是公比为 的等比数列。 （ⅱ）由题设知 ＝ 的解为 ，∴ 且 ＝ 。所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，所以数列 是公差为 的等差数列。 例2 设数列 的前 项和为 ，且方程 有一根为 EMBED Equation.3 。求数列 的通项公式。 解：依题 ，且 ，将 代入上式， 得 ，记，令 ，求出不动点 ，由定理2（ⅱ）知： ，所以数列是公差为 的等差数列，所以 ，因此数列 的通项公式为 。 例3 已知数列 中， （Ⅰ）设 ，求数列 的通项公式. （Ⅱ）求使不等式 成立的 的取值范围 . 解：（Ⅰ）依题 ，记 ，令 ，求出不动点 ；由定理2（ⅰ）知： ， ； 两式相除得到 ，所以 是以 为公比， 为首项的等比数列，所以， 从而 （Ⅱ）解略。 定理3 设 ，且 是 的不动点，数列 满足递推关系 ， ，则有 ；若 ，则 是公比为 的等比数列。 证：∵ 是 的不动点，∴ ， 。 EMBED Equation.DSMT4 ，又 ，则 ， ∴ ，故 是公比为 的等比数列。 例4 已知数列 满足 ， EQ ．⑴求证： ；⑵求证： ；⑶求数列 的通项公式． 证：⑴、⑵证略；⑶依题 ，记 ，令 ，求出不动点 ；由定理3知： ， ， 所以 ，又 ，所以 ． 又 ，令 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．所以 ．由 ，得 ．所以 ． 利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。 定理4 设 且 是 的最小不动点，数列 满足递推关系 ， ，则有 定理5 设 且 是 的不动点，数列 满足递推关系 ， ，则有 跟踪训练 一、填空题 1．已知数列 满足 ， ，数列 的前 项和 ， .若 ，则 的最小值为_______________. 【答案】1 【分析】 由题意，可得 ，转化 为 ，可得 ，结合 的范围即得解. 【详解】 由 ，可得 ，由 ，可得 ，故 . 因为 ，所以 ， 所以 . 由题意可知 ，则 ，故 为递增数列. 因为 ，所以 ，故 ，所以 的最小值为1. 【点睛】 本题考查了数列的递推公式以及裂项求和法，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于中档题 2．设数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 __________. 【答案】1189 【分析】 由 ，两式相加得 ，然后进一步通过迭代法可求得答案 【详解】 解：因为 ， 所以 ， 所以 ， 由 ，可得 所以 ， 所以 ， 故答案为：1189 二、解答题 3．数列 满足： ，点 在函数 的图像上，其中 为常数，且 （1）若 成等比数列，求 的值； （2）当 时，求数列 的前 项的和 . 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）首先由条件，列式表示为 ， ， ，再根据数列是等比数列求 的值； （2）由条件，归纳可知 ，再求数列 的前 项的和 . 【详解】 解：（1）由 可得 ， ， ， 所以 ， ， . 又 ， ， 成等比数列