热点07 函数的零点-2022年高考数学核心热点突破（全国通用版）【学科网名师堂】

热点07 函数的零点 规律方法总结 利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的图象的交点问题. 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 经典例题解析 典例1 已知函数 有两个零点． （1）求 的取值范围； （2）设 ， 是 的两个零点，证明： ． 典例2 已知函数 ． （Ⅰ）求 的极值； （Ⅱ）设 求证： 在 上有两个零点． 典例3 已知函数 . （1）若 恒成立，求实数 的值； （2）若关于 的方程 有四个不同的实数根，则实数 的取值范围. 跟踪训练 一、单选题 1．已知函数 ，若函数 EMBED Equation.DSMT4 与 的图像相交于 ， 两点，且 ， 两点的横坐标分别为 ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数 ，用 表示a，b中的最大值，则函数 的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若函数f(x)满足 ，当 时， ．若在区间 内 有两个零点则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知a，b为实数，若对任意的 ，函数 有2个零点，则b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数 ，当 时，有 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知函数 ，则方程 （ 是自然对数的底数）的实根个数为__________. 7．已知函数 ，若f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______________． 8．若不等式 的解集中有且仅有两个正整数，则实数 的范围是____________ 9．已知函数 对于任意 ，都有 ，且当 时， .若函数 恰有3个零点，则 的取值范围是___________. 三、解答题 10．已知函数 ． （1）判断函数 在 上的单调性； （2）证明函数 在 内存在唯一的极值点 ，且 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 热点07 函数的零点 规律方法总结 利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的图象的交点问题. 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 经典例题解析 典例1 已知函数 有两个零点． （1）求 的取值范围； （2）设 ， 是 的两个零点，证明： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【分析】 （1）由题设得 ，讨论 、 时 的符号，进而判断 的单调性，即可确定满足 有两个零点的情况，结合零点存在性定理求m的范围. （2）由题设若 易得 ，由 应用分析法知：要证结论只需证 ，令 ，设 则应用导数证明 即可. 【详解】 （1）已知函数 有两个零点， ， ①当 时， ，则 在 上单调递增，至多有一个零点； ②当 时， 时， ，则 在 上单调递增； 时， ，则 在 上单调递减， ∴ 在 处取得最大值，即有 得： ， 此时，有 ，而 ， ， ∴由零点存在性定理可知， 在 和 上各有一个零点． 综上所述， 的取值范围是 ． （2）∵ ， 是 的两个零点，不妨设 ， ∴ ①， ②， ①-②得： ，即有 ， 由 ，有 ， ∴要证 ，即证 ，即证 ， 即证 ，即证 ， 令 ，设 ， ， ∴ 在 时单调递增，则 ，即 得证． 【点睛】 关键点点睛： （1）分类讨论思想，利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理及已知零点的