热点06 函数的奇偶性-2022年高考数学核心热点突破（全国通用版）【学科网名师堂】

热点06 函数的奇偶性 规律方法总结 判定奇偶性四法： （1）定义法 用定义来判断函数奇偶性，是主要方法 . 首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称. 其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性. （2）用必要条件. 具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件. 例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性. （3）用对称性. 若f(x)的图象关于原点对称，则 f(x)是奇函数. 若f(x)的图象关于y轴对称，则 f(x)是偶函数. （4）用函数运算. 如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数. 简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”. 类似地，“偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇”. 扩展资料： 奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性。 即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。但由单调性不能倒导其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。 说明： ①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。 ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 ④如果一个奇函数在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。 ⑤如果函数定义域不是关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。 ⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。 注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有 是既奇又偶函数 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。 f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称 点（x，y）→（-x，-y） 奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。 偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。 性质： 1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数）。 2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。 3、奇±奇=奇（可能为既奇又偶函数） 偶±偶=偶（可能为既奇又偶函数） 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）. 4、对于F（x）=f[g(x)]： 若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。 若g(x) 是偶函数且f（x）是奇函数，则F[x]是偶函数。 若g(x）是奇函数且f(x）是奇函数，则F[x]是奇函数。 若g(x）是奇函数且f(x）是偶函数，则F[x]是偶函数。 5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。 经典例题解析 典例1 设 ( 为实常数). （1）当 时，证明： 不是奇函数； （2）若 是奇函数，求a与b的值； （3）若 定义域不为R且是奇函数时，研究是否存在实数集的子集D，对任何属于D的x､c，都有 成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由. 典例2 已知函数 是偶函数，函数 是奇函数． （1）求 的值； （2）设 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 典例3 若函数 在 时，函数值 的取值区间恰为 ，则称 为 的一个“ 倍倒域区间”.定义在 上的奇函数 ，当 时 . （1）求 的解析式； （2）求 在 内的“ 倍倒域区间”； （3）若 在定义域内存在“ 倍倒域区间”，求 的取值范围. 跟踪训练 一、单选题 1．已知 是定义在 上的偶函数，那么 的最大值是（ ） A．1 B． C． D． 2．已知函数 是定义在R上的奇函数，满足 ，且当 时， ，则函数 的零点个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知函数 ，则满足 的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．定义在 上的函数 的导函数为 ，满足： ， ，且当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ，设函数 ，则 的零点的个数为（ ） A