热点05 函数的单调性-2022年高考数学核心热点突破（全国通用版）【学科网名师堂】

热点05 函数的单调性 规律方法总结 函数单调性探究方法：(1)定义法；(2)图像法；(3)导数法；(4)利用已知函数单调性结合常用单调性运算. 经典例题解析 典例1设函数 ，为常数. （1）若 为偶函数，求 的值； （2）设 ， ， 为减函数，求实数 的取值范围. 典例2 已知定义域为 的函数 是奇函数． （1）求 、 的值； （2）若对于任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 典例3 已知函数f(x)＝a- . (1)求f(0)； (2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)若f(x)为奇函数，解不等式f(ax)<f(2). 跟踪训练 一、单选题 1．下列函数中是增函数的为（ ） A． B． C． D． 2．下列五个命题：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中真命题的个数是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 ，则 的解集为（ ） A． B． C． D． 4．已知 ，且 ，则下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 5．下列四个命题：① ；② ；③ ；④ .其中真命题的个数是（ ）( 为自然对数的底数， ) A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 6．定义在 上的函数 ，若 恒成立，则 的取值范围为________． 7．函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是_________. 8．已知定义在R上的偶函数 在 上单调递增，实数a满足 ，则实数a的取值范围是___________. 三、解答题 9．已知函数 ． （1）判断 的单调性，并比较 与 的大小； （2）若函数 ，其中 ，判断 的零点的个数，并说明理由． 参考数据： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 热点05 函数的单调性 规律方法总结 函数单调性探究方法：(1)定义法；(2)图像法；(3)导数法；(4)利用已知函数单调性结合常用单调性运算. 经典例题解析 典例1设函数 ，为常数. （1）若 为偶函数，求 的值； （2）设 ， ， 为减函数，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）根据偶函数的定义求解即可； （2）化简函数 ，根据函数减函数的定义确定a的范围. 【详解】 （1）因为 为偶函数，且 ，所以 即 即 所以 对一切 成立，所以 （2）因为 ，且 所以 ， 任取 ， 因为 ，所以 且 又 在区间 上为减函数，所以 即 ，所以 又 ，所以 . 典例2 已知定义域为 的函数 是奇函数． （1）求 、 的值； （2）若对于任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）由奇函数 ，代入求a、b； （2）先判断 的单调性，利用单调性解不等式 . 【详解】 ∵函数 是奇函数，由 ，解得：b=1. 又 ， 即 所以 即 ，所以a=2b 解得： （2）由（1）知： . 任取 且 ，则 因为 ，所以 所以 ，所以 所以 为减函数. 不等式 可化为： 恒成立 . 即 令 ，所以 . 所以 , 所以 即 的取值范围为 . 【点睛】 (1) 由奇函数求参数的值:一般用 ，有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: ； (2)解抽象函数型不等式利用函数的单调性. 典例3 已知函数f(x)＝a- . (1)求f(0)； (2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)若f(x)为奇函数，解不等式f(ax)<f(2). 【答案】(1)a-1；(2)f(x)在R上单调递增，证明见解析；(3)(-∞，2). 【分析】 (1)将0代入解析式即得f(0)； (2)任取x1，x2∈R且x1<x2，作f(x1)与f(x2)的差，再判断与0的大小得证； (3)由f(x)是奇函数求出a，再由单调性求出不等式的解集. 【详解】 (1)f(0)=a- =a-1. (2)f(x)在R上单调递增，证明如下： ∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=a- -a＋ = ， ∵y=2x在R上单调递增且x1<x2， ∴ ， ∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1) <f(x2)， ∴f(x)在R上单调递增. (3)∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=- f(x)， 即a- =-a＋ ，解得a=1(经检验符合题意)， ∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)， 又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2， ∴不等式的解集为(-∞，2). 跟踪训练 一、单选题 1．下列函数中是增函数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍. 对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍. 对于C， 在 为减函数，不合题