热点04 求函数的最值-2022年高考数学核心热点突破（全国通用版）【学科网名师堂】

热点04 求函数的最值 规律方法总结 常见的求最值方法有: 1、配方法: 形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值. 2、判别式法: 形如的分式函数, 将其化成系数含有y的关于x的二次方程. 3、利用函数的单调性，首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值. 4、利用均值不等式. 5、换元法，参数换元法. 6、数形结合法 形如将式子左边看成一个函数, 右边看成一个函数, 在同一坐标系作出它们的图象, 观察其位置关系, 利用解析几何知识求最值. 求利用直线的斜率公式求形如的最值. 7、利用导数求函数最值 特别提醒： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 经典例题解析 典例1已知函数 为实数. （Ⅰ）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值； （Ⅱ）若 对 恒成立，求 的取值范围. 典例2 设函数 ， ，其中 且 . （1）若 有最小值，求a的范围； （2）若 ，使得 成立，求a的范围. 跟踪训练 一、单选题 1．设 是定义在R上的偶函数，且当 时， EMBED Equation.DSMT4 .若对任意的 ，均有 ，则实数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 2．已知公差不为0的等差数列 的前n项和 ， ， 是 和 的等比中项，则 （ ） A．有最大值9 B．有最大值25 C．没有最小值 D．有最小值-24 3．已知实数 ， ， 满足 ， ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 4．已知实数 ， ， ， 满足 ，且 ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．设函数 和 ，若两函数在区间 上的单调性相同，则把区间 叫做 的“稳定区间”.已知区间 为函数 的“稳定区间”，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知曲线 ，若对于曲线 上的任意一点 ，都有 ，则 的最小值为___________. 7．已知实数a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x对任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐标系xOy中，点（a，b）形成的区域记为Ω．若圆x2+y2＝r2上的任一点都在Ω中，则r的最大值为_____． 三、解答题 8．已知函数 ． （1）当 时，若 对 恒成立，求实数 的取值范围； （2）关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 热点04 求函数的最值 规律方法总结 常见的求最值方法有: 1、配方法: 形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值. 2、判别式法: 形如的分式函数, 将其化成系数含有y的关于x的二次方程. 3、利用函数的单调性，首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值. 4、利用均值不等式. 5、换元法，参数换元法. 6、数形结合法 形如将式子左边看成一个函数, 右边看成一个函数, 在同一坐标系作出它们的图象, 观察其位置关系, 利用解析几何知识求最值. 求利用直线的斜率公式求形如的最值. 7、利用导数求函数最值 特别提醒： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 经典例题解析 典例1已知函数 为实数. （Ⅰ）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值； （Ⅱ）若 对 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【分析】 （Ⅰ）由导数的几何意义表示函数在某点处切线的斜率与切点在切线上构建方程求得答案； （Ⅱ）将所需恒成立不等整理并转化为不等式 在 恒成立，进而构造函数 ， 并将所转化不等式要求等价于 ，最后由函数的单调性与对勾函数的性质分别计算即可. 【详解】 （Ⅰ）由已知 ，得 ， 因为其在点 处的切线方程为 ，所以 ， 从而，得 且 ， 解得 . （Ⅱ）根据题设得，命题等价于，当 时， 恒成立 EMBED Equation.DSMT4 恒成立 恒成立 EMBED Equation.DSMT4 恒成立.（*） 设 ， ， 则（*）式即为 ， 而由函数单调性与对勾函数的性质可知，当 时