热点02 求解函数的值域-2022年高考数学核心热点突破（全国通用版）【学科网名师堂】

热点02 求解函数的值域 规律方法总结 求函数值域是每年高考中必考的内容，其中的题型主要包括：求对数函数的值域，求指数函数的值域，求三角函数的值域，以及一些综合起来的题型，难度大大的增加，所以掌握求函数值域的方法和技巧，理解函数值域在综合题型中的应用，努力使自己在高考中脱颖而出。“求函数值域的方法有：观察法、配方法、常数分离法、换元法、逆求法、基本不等式法、求导法、数形结合法和判别式法等。在函数的经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。” 具体如下：求函数值域常见方法： （1）单调性法：判断函数单调性，利用单调性求值域（包括常见一次函数、二次函数、分式函数、对勾函数等）； （2）换元法：将复杂函数通过换元法转化到常见函数上，结合图象和单调性求解值域； （3）判别式法：分式函数分子分母的最高次幂为二次时，可整理成关于函数值y的二次方程，方程有解，判别式大于等于零，即解得y的取值范围，得到值域. 经典例题解析 典例1求下列函数的值域 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） （9） ； （10） . 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） ；（10） . 【分析】 （1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可； （2）直接利用二次函数性质求分母取值范围，再求y的取值范围即得结果； （3）先求定义域，再利用函数单调性求函数取值范围即可； （4）先整理分式函数为关于x的二次方程，再根据方程有解，判别式大于等于0，即解得y的取值范围； （5）利用二次函数的单调性逐步求值域即可； （6）令 ，则 ，将函数变形为 ，利用二次函数的性质计算可得； （7）求出函数定义域， 平方后利用二次函数的性质求值域即可； （8）直接利用二次函数的单调性逐步求值域即可； （9）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可； （10）先进行换元 ，再利用对勾函数单调性求解值域即可. 【详解】 解：（1）分式函数 ， 定义域为 ，故 ，所有 ， 故值域为 ； （2）函数 中，分母 ， 则 ，故值域为 ； （3）函数 中，令 得 ， 易见函数 和 都是减函数， 故函数 在 时是递减的，故 时 ， 故值域为 ； （4） 定义域为R， 故两边乘以 y，整理得 ，则该方程一定有解， 则判别式 ， 即解得 ，即 ，故值域为 ； （5） ， 而 ， ， ， ， 即 ，故值域为 ； （6）函数 ，定义域为 ，令 ， 所以 ，所以 ，对称轴方程为 ， 所以 时，函数 ，故值域为 ； （7）由题意得 ，解得 ， 则 ， 故 ， ， ， 由y的非负性知， ，故函数的值域为 ； （8）函数 ，定义域为 ， ，故 ，即值域为 ； （9）函数 ，定义域为 ， 故 ，所有 ，故值域为 ； （10）函数 ， 令 ，则由 知， ， ， 根据对勾函数 在 递减，在 递增, 可知 时， ，故值域为 . 典例2 已知 ，求函数 的值域 【答案】 【分析】 首先解指数不等式 得到 ，再根据函数 的单调性求值域即可. 【详解】 ， 而函数 在区间 上是增函数， 所以，函数 的值域为 . 典例3 已知幂函数 为奇函数． （1）求实数m的值； （2）求函数 的值域． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】 （1）根据幂函数的定义可得 ，即可解得 或5，根据 为奇函数，即可确定m的值. （2）由（1）可得 ， ，令 ， ，利用换元法，即可求得 的值域，即可得答案. 【详解】 （1）∵函数 为幂函数， ，解得 或5， 当 时， ， 为奇函数， 当 时， ， 为偶函数， 函数 为奇函数， ； （2）由（1）可知， ，则 ， ， 令 ，则 ， ， 则 ， ， 函数 为开口向下，对称轴为 的抛物线， 当 时，函数 ， 当 ，函数 取得最大值为1， EMBED Equation.DSMT4 的值域为 ，故函数 的值域为 ． 【点睛】 解题的关键是熟练掌握幂函数的定义，换元法求值域等知识，易错点为换元后，需写出t的范围，再根据t的范围，进行求值计算，属基础题. 跟踪训练 1．已知 的值域为 ，则实数 （ ） A．4或0 B．4或 C．0或 D．2或 【答案】B 【分析】 由题意可得 ，分 的符号进行分类讨论函数的零点，结合值域得出 的值， 【详解】 解：由 ， 由 ，可得 ，或 ，或 ， 它的定义域为 ，值域为 ， 若 ，则 ，则函数的值域为 ，不满足条件. 若 ，则根据函数的定义域为 ， 此时，函数 的零点为 ， ， 若 ，当 时， 不满足题意. 若 ，当 时， 不满足题意. 所以 ，求得 ； 若 ，则