对点练6 一元二次不等式及其解法-2022新高考数学(A)高频考点突破练

对点练6　一元二次不等式及其解法 1．B　∵A＝{x|x2－x－2＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}， ∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B. 2．A　关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，等价于不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0恒成立．当a＝2时，对于一切实数x，不等式－4＜0恒成立；当a≠2时，要使不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0恒成立，则解得－2＜a＜2. 综上可得，实数a的取值范围是(－2，2]，故选A. 3．A　解法一　当x＞0时，不等式为x(1－2x)＞0， 解得0＜x＜； 当x＜0时，不等式为－x(1－2x)＞0， 即x(2x－1)＞0，解得x＜0. 综上可得，原不等式的解集为(－∞，0)∪，故选A. 解法二　很明显|x|≥0，则原不等式等价于解得x∈(－∞，0)∪，故选A. 4．A　对于p，＞，即＜0，解得0＜a＜4； 对于q，当a＝0时，显然ax2＋ax＋1＞0成立； 当a≠0时，有解得0＜a＜4， 综上，0≤a＜4. 由于(0，4)[0，4)， 故p成立是q成立的充分不必要条件，故选A. 5．A　设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0. 由于不等式f(x)＞－2x的解集为(1，3)， 即关于x的一元二次不等式ax2＋(b＋2)x＋c＞0的解集为(1，3)， 则a＜0，1，3为关于x的一元二次方程ax2＋(b＋2)x＋c＝0的两根， ∴－＝1＋3＝4，＝1×3＝3，∴b＝－4a－2，c＝3a， ∴f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋3a. ∵关于x的二次方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根， ∴关于x的一元二次方程ax2－(4a＋2)x＋9a＝0有两个相等的根， 则Δ＝(4a＋2)2－36a2＝(10a＋2)(2－2a)＝0， 解得a＝－或a＝1. ∵a＜0，∴a＝－，故选A. 6．A　由题意知关于x的方程(x＋b)[(a－1)x＋(1－b)]＝0的实数根为－1和3，则 解得a＝5，b＝－3(a＝b＝1舍去)．则不等式x2＋bx－2a＜0即为x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5，故不等式x2＋bx－2a＜0的解集为(－2，5)，故选A. 7．B　由题意知x1，x2是关于x的方程x2－2ax－8a2＝0(a＜0)的实数根，且Δ＝4a2＋32a2＞0，x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.∵x2－x1＝15，∴152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝36a2. 又a＜0，∴a＝－，故选B. 8．A　解法一　当x∈(0，2]时，不等式可化为ax＋＜2. 当a＝0时，不等式为0＜2，满足题意； 当a＞0时，不等式化为x＋＜，则＞x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝时取等号．要使x＋＜有解，只需＞即可，即＞2，a＜，故0＜a＜；当a＜0时，x＋＞恒成立． 综上所述，实数a的取值范围是，故选A. 解法二　设g(x)＝ax2－2x＋3a，x∈(0，2]． 当a＝0时，g(x)＝－2x＜0，满足题意； 当a＜0时，函数y＝g(x)图象的对称轴为x＝＜0，在(0，2]上为减函数，且g(0)＝3a＜0，即g(x)＜0，满足题意； 当a＞0时，满足或即可， 解得＜a＜或0＜a≤. 综上可得，实数a的取值范围为，故选A. 9．C　由(x－b)2＞(ax)2，可得(a2－1)x2＋2bx－b2＜0. 由题意可知不等式的解应在两根之间，则有a2－1＞0. 又知0＜b＜a＋1，∴a＞1. 又Δ＝4b2＋4b2(a2－1)＝4a2b2＞0， ∴不等式的解集为＜x＜(a＞1，b＞0)． ∵0＜b＜a＋1，∴0＜＜1， 即当－3≤＜－2时，不等式的解集为－2，－1，0，符合题意．∴2(a－1)＜b≤3(a－1)． 而a＞1，0＜b＜a＋1，当满足2(a－1)＜1＋a时，符合题意，即a＜3，∴实数a的取值范围为(1，3)，故选C. 10．解析　令(x－a)＝0，解得x＝a或x＝. ∵0＜a＜1，∴a＜. ∴不等式(x－a)＞0的解集是x＞或x＜a. 答案　(－∞，a)∪ 11．解析　由x2＋4x＋4＝(x＋2)2≤0，得x＝－2. 由≤3，得≥0， ∴x≤－2或x＞－1. 答案　{－2}　{x|x≤－2或x＞－1} 12．解析　由－sin x－cos2x－m≤0，得m≥－sin x－cos2x＝sin2x－sin x－.由题意知，不等式m≥sin2x－sin x－对任意的x∈R恒成立， 则m≥. 令y＝sin2x－sin x－＝－， －1≤sin x≤1， 可知函数y＝sin2x－sin x－在sin x＝－1时取得最大值，ymax＝2－＝. ∴m≥，∴实数m的最小值为. 答案　 13．解析　由ax2－(a＋1)x＜－a＋13x可得， a(x2－x＋1)＜14x. ∵x2－x＋1＝＋＞0， ∴a＜