专题03 空间向量-2020-2021学年高二数学下学期期末专题冲刺复习（苏教版）

2020-2021学年高二期末复习空间向量专题 1. (2021·河北省沧州市·月考试卷)已知O为坐标原点，向量，点，若点E在直线AB上，且，则点E的坐标为    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】点E在直线AB上， ， 且， ， ， 故点E的坐标为， 故选A． 2. (2021·江苏省南京市·月考试卷)如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段AO的长度为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可知，， 且，，，， 则 ， ， 故选A． 3.（多选）(2021·广东省·单元测试)已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是            A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 【答案】ABC 【解析】根据题意两个向量的坐标表示， 可得1，，， 则为常数，所以与不共线， 所以A错误； B.结合题意可得：向量的模长等于， 但是为常数，所以B错误； C.1，，， 所以， 所以C错误 D.设平面ABC的一个法向量是， 利用，即 取，得，， 则平面ABC的一个法向量是，所以 D正确． 故选ABC． 4. (2021·江苏省苏州市·同步练习)如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，若分别为棱上的点，O为AC中点，且． 求证：平面平面PCD； 求直线CD与平面ACM所成角的正弦值； 求点N到平面ACM的距离． 【解析】解：因为平面ABCD，AB、平面ABCD，所以， 因为ABCD是矩形，所以； 故PA，AB，AD两两垂直，以AB，AD，PA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则0，，0，，4，，4，，2， ，且OM，ON分别为三角形AMC，三角形ANC的中线，所以， 又因为，，，AD、平面PAD， 平面PAD，且平面PAD，所以， 又因为，，CM、平面PCD， 所以平面PCD，平面PCD，即可得， 设点y，，因为P，M，D三点共线， 所以，，所以； 所以，所以， 而，所以，所以 同理，设点y，，因为P，N，C三点共线，所以， 而，， 因为，所以，所以， 而； 所以； 设平面ABM的法向量为， 所以 设平面PCD的法向量为， 所以 所以，所以所以平面平面PCD； 设平面ACM法向量为，， 所以； 而，设直线CD与平面ACM所成角为， 则 点N到平面ACM的距离． 5. (2021·重庆市市辖区·单元测试)三棱柱中，侧面为菱形，，，，． 求证：面面； 在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解析】证明：取BC中点O，连AO，， ，，， ，， 又，， ，， 又， ， ， ，面，面， 面， 面ABC， 面面C. 建立如图空间直角坐标系，则 0，，0，，0，，， 设，， ，0，， ， 设平面的法向量为y，， 则 则 取，，，， 又0，是面的一个法向量， ， ，． 即存在一点M满足条件，且． 6. (2021·福建省·月考试卷)如图所示，在三棱柱中，平面ABC，，，E是的中点． 求直线AB与平面所成角的正弦值； 在棱上是否存在一点P，使得平面PAB与平面所成二面角为？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，． ，，． 设平面的法向量为，则 即，令，则． 所以， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为； 解：假设在棱上存在一点P，使得平面PAB与平面所成二面角为， 设，则， 设平面PAB的法向量为， 则，即，取，则． 由知平面的一个法向量为． 所以，即，而， 故． 故在棱上存在一点P，使得平面PAB与平面所成二面角为， P点的坐标为． $2020-2021学年高二期末复习空间向量专题 1. (2021·河北省沧州市·月考试卷)已知O为坐标原点，向量，点，若点E在直线AB上，且，则点E的坐标为    A. B. C. D. 2. (2021·江苏省南京市·月考试卷)如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段AO的长度为 A. B. C. D. 3.（多选）(2021·广东省·单元测试)已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是            A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 4. (2021·江苏省苏州市·同步练习)如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，若分别为棱上的点，O为AC中点，且． 求证：平面平面PCD； 求直线CD与平面ACM所成角的正弦值； 求点N到平面ACM的距离． 5. (2021·重庆市市辖区·单元测试)三棱柱中，侧面为菱形，，，，． 求证：面面； 在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若