专题01 导数-2020-2021学年高二数学下学期期末专题冲刺复习（苏教版）

2020-2021学年高二期末复习导数专题 1．函数f(x)＝e|x|－ln|x|－2的大致图象大致为 A． B． C． D． 【答案】D 2．(2021·江苏南京市·南京师大附中高三其他模拟)函数f(x)＝cosx·ln(＋x)的图像大致是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】f(x)＝cosx·ln(＋x)，f(－x)＝cos(－x)·ln(－x)＝－cosx·ln(＋x)＝－f(x)， 函数为奇函数，排除CD．当x∈(0，)时，cosx＞0，ln(＋x)＞ln1＝0，故f(x)＞0，排除A．故选：B 3.(2021·广东高三其他模拟)（多选）函数f(x)＝|x|＋ (a∈R)的图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据题意，当a＝0时，f(x)＝|x|，(x≠0)，其图象与选项A对应， 当a＞0时，f(x)＝，在区间(0，＋∞)上，f(x)＝x＋，其图象在第一象限先减后增，在区间(－∞，0)上，f(x)为减函数，其图象与选项B对应， 当a＜0时，f(x)＝，在区间(0，＋∞)上，f(x)为增函数，在区间(－∞，0)上，f(x)＝－x＋＝[(－x)＋]，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项D对应，故选:ABD． 4．已知函数f(x)＝ex－3＋xln x－x2－ax≥0恒成立，则实数a的取值范围是 A．(－∞，e] B．(－∞，－2] C．[2，e] D．[－2，2] 【答案】B 5．已知函数 f(x)＝则方程f(x)＝的实数根个数为________； 若函数 y＝f [f(x)－a]－1有三个零点，则实数a的取值范围为________． 【答案】3；(1，1＋)∪(2，3]∪{3＋} 6．已知函数f(x)＝ex－a(ln x＋1)(a∈R)． (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数y＝f(x)在(，1)上有极值，求a的取值范围． 【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ex－. (1)因为f(1)＝e－a，f '(1)＝e－a， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－a)＝(e－a)(x－1)， 即y＝(e－a)x. (2)f '(x)＝ex－. 当a≤0时，对于任意x∈，都有f '(x)>0， 所以函数f(x)在上为增函数，没有极值，不合题意． 当a>0时，令g(x)＝ex－，则g'(x)＝ex＋>0， 所以g(x)在上单调递增，即f '(x)在上单调递增， 所以函数f(x)在上有极值，等价于 所以解得<a<e. 综上a的取值范围是. 7．已知函数f(x)＝＋aln x(a∈R，a≠0)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)设函数g(x)＝2x2f '(x)－xf(x)－3a(a＜0)，若存在实数x1，x2∈[1，e2]，使得不等式 2g(x1)＜g(x2)成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1），． 当时，，时，，当，时，， 的减区间为，增区间为，； 当时，，在上恒成立，则的减区间为， 无增区间； 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，，时，，当，时，， 的增区间为，减区间为，． 综上，当时，的减区间为，增区间为，； 当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为，； （2）， 存在实数，，，使得不等式成立， . ， ，当，时，，单调递减， 当，时，，单调递增， （e），. ，得，又，． 8．(2020·全国高考真题(理))已知函数f(x)＝ex＋ax2－x． (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围． 【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f'(x)＝ex＋2x－1， 由于f''(x)＝ex＋2＞0，故f'(x)单调递增，注意到f'(0)＝0，故： 当x∈(－∞，0)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增． (2)由f(x)≥x3＋1得，ex＋ax2－xx3＋1，其中x≥0， ① 当x＝0时，不等式为：1≥1，显然成立，符合题意； ② 当x＞0时，分离参数a得，a≥－，记g(x)＝－，g'(x)＝－， 令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，则h'(x)＝ex－x－1，h''(x)＝ex－1≥0，故h'(x)单调递增，h'(x)≥h'(0)＝0， 故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0， 由h(x)≥0可得：ex－x2－x－1≥0恒成立， 故当x∈(0，2)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减； 因此，[g(x)]max＝g(