精品解析：北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟统一练习数学试题

人大附中2020—2021学年度高三1月期末模拟统一练习 数学 150分.考试时长120分钟. 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若，则z的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. i D. 3. 在的二项展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，是的直径，垂直于所在平面，是圆周上不同于两点的任意一点，且，，则二面角的大小为 A. B. C. D. 6. 已知，则下列说法错误是（ ） A. 若内单调，则 B. 若在内无零点，则 C. 若的最小正周期为，则 D. 若时，直线是函数图象的一条对称轴 7. 数列的前n项和记为，则“数列为等差数列”是“数列为常数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设抛物线的焦点为F，点P在C上，，若以线段PF为直径的圆过点，则C的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 在中，，，则面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论： ①的一个周期是； ②是偶函数； ③的最大值大于； ④在单调递减. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案全部填写在答题卡上. 11. 某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老､中､青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为__________. 12. 在各项均为正数的等比数列中，已知，，记，则数列的前六项和为__________. 13. 已知F是双曲线的右焦点，P是双曲C上的点，， (1)若点P在双曲线右支上，则的最小值为__________； (2)若点P在双曲线左支上，则的最小值为__________. 14. 已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围为__________. 15. 某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲､乙､丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为__________. “我身边的榜样”评选选票 候选人 符号 注： 1.同意画“○”，不同意画“×”. 2.每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票. 甲 乙 丙 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知中，. （1）中是否必有一个内角为钝角，说明理由. （2）若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.请证明使得存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值. 17. 如图，在四面体ABCD中，E，F，M分别是线段AD，BD，AC中点，，，. （1）证明：平面BCD； （2）证明：平面BCD； （3）若直线EC与平面ABC所成的角等于，求二面角的余弦值. 18. 某企业发明了一种新产品，其质量指标值为，其质量指标等级如下表： 质量指标值m 质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品 为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图： （1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率； （2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求的件数X的分布列及数学期望； （3）若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表： 质量指标值m 利润y(元) 4t 9t 4t 2t 试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品平均利润达到最大(参考数值：，). 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的，都有成立，求a的取值范围. 20. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆C方程. （2）已知O为坐标原点，A，B为椭圆C上