专题13必考必刷解答题之立体几何-2020-2021学年高一下学期期末备考之金榜名题（人教A版必修2+必修5）

专题13必考必刷解答题之立体几何 1．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC，AB＝AA1＝AC＝2，M为AC中点． （1）证明：直线B1C∥平面A1BM； （2）求异面直线B1C与A1B所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接AB1，交A1B于点O，连接OM，则O为AB1的中点， ∵M为AC的中点， ∴OM∥B1C， 又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM， ∴直线B1C∥平面A1BM． （2）解：由（1）知，OM∥B1C， ∴∠BOM或其补角为直线B1C与A1B所成角， ∵AA1⊥平面ABC，BM⊂平面ABC， ∴AA1⊥BM， ∵等边△ABC，且M为AC的中点，∴BM⊥AC， 又AA1∩AC＝A，AA1、AC⊂平面AA1C1C， ∴BM⊥平面AA1C1C， ∴BM⊥A1M， ∴OM＝OBA1B， 在△OBM中，BM， 由余弦定理知，cos∠BOM， 故异面直线B1C与A1B所成角的余弦值为． 2．如图所示，底面正方形ABCD，直角梯形ADEF中，DE垂直平面ABCD，∠ADE＝90°，AF∥DE，DE＝DA＝2AF＝2． （1）求证：AC⊥平面BDE； （2）求证：AC∥平面BEF； （3）若AC与BD相交于点O，求四面体BOEF的体积． 【解析】（1）证明：∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴DE⊥AC， ∵ABCD为正方形，AC、BD为对角线， ∴AC⊥BD， ∵BD⊂面BDE，DE⊂面BDE，DE∩BD＝D， ∴AC⊥平面BDE． （2）证明：取BE中点G，AC、BD交点为O，连接OG、FG， ∵O、G分别为BD、BE的中点， ∴OG∥DE，OGDE， ∵ADEF为直角梯形，DE⊥平面ABCD， ∴AF∥DE， ∵DE＝2AF， ∴OG∥AF，OG＝AF， ∴四边形AOGF为平行四边形， ∴AC∥FG， ∵AC⊄面BEF，FG⊂面BEF， ∴AC∥平面BEF． （3）∵面ABCD⊥面ADEF，AB⊥AD， ∴AB⊥面ADEF， ∵AF∥DE，∠ADE＝90°，DE＝DA＝2AF＝2， ∴△DEF的面积为， ∴四面体BDEF的体积为， 又∵O是BD中点， ∴VB﹣DEF， ∴． 3．如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA＝2，∠AOP＝120°，三棱锥A1﹣APB的体积为． （1）求圆柱OO1的表面积； （2）求异面直线A1B与OP所成角的余弦值． 【解析】解：（1）由题意，在△AOP中，OA＝OP＝2，∠AOP＝120°，所以AP＝2， 在△BOP中，OB＝OP＝2，∠BOP＝60°，所以BP＝2， 因为三棱锥A1﹣APB的体积为． 所以，解得AA1＝4， 故圆柱OO1的表面积为S表＝2π×22+2π×2×4＝24π． （2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，则OQ∥A1B， 得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角， 又，AQ＝AO＝2，得OQ＝2，PQ＝4， 由余弦定理得cos∠POQ， ∴异面直线A1B与OP所成角的余弦值为． 4．三棱锥P﹣ABC，PA＝4，BC＝6． （1）该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出； （2）若PB中点为M，AC中点为N，MN＝4，求异面直线PA与BC所成角的余弦值． 【解析】解：（1）该棱锥的6条棱中，共有3对异面直线， 分别是PA与BC，PB与AC，PC与AB． （2）如图，取AB中点O，连接OM，ON， 因为PB中点为M，AC中点为N， 所以OM∥PA，ON∥BC， 所以异面直线PA与BC所成的角为∠MON或其补角， PA＝4，BC＝6． 所以OM＝2，ON＝3，又MN＝4， 在△MON中，由余弦定理可得cos∠MON， 所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为． 5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点． （1）求证：PC∥平面BDE； （2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：PA⊥平面BDE． 【解析】证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接OE， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC， ∵E为侧棱PA的中点，∴OE∥PC， ∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE， ∴PC∥平面BDE． （2）∵E为AP中点，PD＝AD，∴PA⊥DE， ∵PC⊥PA，OE∥PC，∴PA⊥OE， ∵OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE＝E， ∴PA⊥平面BDE． 6．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，D，E分别是CP，CB的中点．求证： （Ⅰ）DE∥平面PAB； （Ⅱ）平面PAC⊥平面PBC． 【解析】证明：（Ⅰ）因为D，E分别是CP，CB的中点，所以DE∥PB， 又DE⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， 所以DE∥平面PAB； （