专题11必考必刷解答题之解三角形与数列-2020-2021学年高一下学期期末备考之金榜名题（人教A版必修2+必修5）

专题11必考必刷解答题之解三角形与数列 1．已知等差数列{an}，a2+a3＝﹣4，a5＝3a4． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn． 【解析】解：（Ⅰ）等差数列{an}中，设首项是a1，公差为d， 由a2+a3＝﹣4，a5＝3a4， 得， 解得d＝2，a1＝﹣5， 所以数列{an}的通项公式为an＝﹣5+2（n﹣1）＝2n﹣7； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，a1＝﹣5，d＝2， 所以等差数列{an}的前n项和为： Sn＝﹣5nn2﹣6n． 2．在△ABC中，cosC，c＝8，再从条件①：a＝7；条件②；cosB，这两个条件中选择一个作为已知．求：（1）b的值； （2）角A的大小和△ABC的面积． 【解析】解：（1）选条件①时，由于在△ABC中，cosC，c＝8，a＝7； 故c2＝a2+b2﹣2abcosC， 整理得b2﹣2b﹣15＝0， 解得b＝5或﹣3（负值舍去）， 所以b＝5． （2）由于cosC，解得， 利用正弦定理：，整理得sinA， 由于c＞a， 故C＞A，故A． 所以． 选条件②时，cosB， 所以sinB， 由于cosC，解得， 利用正弦定理，整理得：b＝5， 利用正弦定理，解得A． 故． 3．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和． 【解析】解：（1）设数列的首项为a1，公比为q， 等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64． 所以，解得， 所以． （2）数列{bn}满足，， 所以， ． 4．已知等比数列{an}满足：a1+a6＝66，a3•a4＝128． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{an}前n项和Sn＝126，求n的值． 【解析】解：（Ⅰ）根据题意，等比数列{an}满足：a1+a6＝66，a3•a4＝a1•a6＝128， 解可得：或， 若，则q532，解可得q＝2，则an＝2n， 若，则q5，解可得q，则an＝27﹣n， 故an＝2n或an＝27﹣n； （Ⅱ）数列{an}前n项和Sn＝126， 当a1＝2，q＝2时，Sn2n+1﹣2＝126，解可得n＝6； 当a1＝64，q时，Sn128（1）＝126，n＝6， 故n＝6． 5．在①3csinA＝4acosC，②2bsincsinB这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题． 在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知______（只需填序号），c＝3． （1）求sinC． （2）M为AC边上一点，MA＝MB，∠CBM，求△ABC的面积． 【解析】解：（1）若选择①3csinA＝4acosC， 由正弦定理得①3sinCsinA＝4sinAcosC， 因为sinA＞0， 所以3sinC＝4cosC， 则C为锐角， 又sin2C+cos2C＝1， 所以sinC； 若选择②2bsincsinB， 则2bsin（）csinB，即2bcoscsinB， 由正弦定理得2sinBcossinCsinB， 因为sinB＞0， 所以得2cossinC＝2sincos， 因为cos0， 所以sin，cos， 所以sinC＝2sincos2； （2）由题意得∠BMC，cos∠BMA＝﹣cos∠BMC＝﹣sin∠C， △BMA中，MA＝MB， 由余弦定理得，， 解得MA＝MB， 因为cos∠BMC， 所以MC， 又cos∠BMC，sin∠BMC， S△ABC＝S△MAB+S△MBCsin∠BMC， ． 6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（a+2c）cosB+bcosA＝0． （1）求角B的大小； （2）若b＝3，求△ABC的周长的最大值． 【解析】解：（1）已知（a+2c）cosB+bcosA＝0． 则（sinA+2sinC）cosB+sinBcosA＝0， 整理得：sinAcosB+cosAsinB+2sinCcosB＝0， 所以sin（A+B）+2sinCcosB＝0， 因为A+B＝π﹣C，所以sinC+2sinCcosB＝0， 解得cosB， 由于：0＜B＜π， 所以：B． （2）∵b＝3，sinB， ∴由正弦定理得：2，即a＝2sinA，c＝2sinC， ∴△ABC周长为a+b+c＝2（sinA+sinC）+3＝2[sinA+sin（A）]+3＝2sin（A）+3， ∵0＜A， ∴A， ∴sin（A）∈（，1]，即2sin（A）+3∈（6，2]， 则△ABC周长的最大值为2． 7．要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距200m的C、D两点，并测得∠ADC＝105°，∠BDC＝15°，∠BCD＝120°，∠ACD＝30°，求A、B两点之间的距离． 【解析】解：在△ACD中，CD＝20