专题10球的外接与内切问题-2020-2021学年高一下学期期末备考之金榜名题（人教A版必修2+必修5）

专题10球的外接与内切问题 1．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2，则（　　） A．S1＝2S2 B．S1＝3S2 C．S1＝4S2 D．S1＝2S2 【解析】解：根据题意，设正方体的棱长为1， 可得正方体的外接球直径为正方体的对角线长，等于， 而内切球直径等于正方体的棱长，等于1， ∴S1、S2的比值为3，可得S1＝3S2． 故选：B． 2．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，AA1＝2，BC＝2，∠BAC，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（　　） A． B．16π C． D． 【解析】解：直三棱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，（如图）， ∵△ABC中，∠BAC， ∴下底面△ABC的外心P为BC的中点， 同理，可得上底面△A1B1C1的外心Q为B1C1的中点， 连接PQ，则PQ与侧棱平行，所以PQ⊥平面ABC 再取PQ中点O，可得：点O到A、B、C、A1、B1、C1的距离相等， ∴O点是三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的球心 ∵Rt△POB中，BPBC，POAA1＝1， ∴BO2，即外接球半径R＝2， 因此，三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的球的体积为：VπR3π×23π． 故选：A． 3．半径为R的球的内部装有4个相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值为（　　） A．R B．R C．R D．R 【解析】解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大． 以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心 该正四面体的高为 设正四面体的外接球半径为x，则x2＝（x）2+（）2 ∴xr ∴Rr+r， ∴rR． 故选：B． 4．定义八个顶点都在某圆柱的底面圆周上的长方体叫做圆柱的内接长方体，圆柱也叫长方体的外接圆柱，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为a、b、c（其中a＞b＞c），那么该长方体的外接圆柱侧面积的最大值是（　　） A．πa B．πb C．πc D．πabc 【解析】解：当ABCD在圆柱的底面上时，由题意可得AC等于圆柱的底面直径2r，圆柱的高等于c． 故2r，故外接圆柱侧面积为：2πrc＝πc； 同理可得，当ABB1A1在圆柱的底面上时，外接圆柱侧面积为：πb； 当BCC1B1在圆柱的底面上时，外接圆柱侧面积为：πa． 取a＝3，b＝2，c＝1，检验可得πc、πb、πa中，最大的是πa． 故选：A． 5．如图所示，已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的体积为，则该正方体的外接 球的表面积为（　　） A．12π B．15π C．16π D．10π 【解析】解：设正方体的棱长为2a，则中间四棱锥的底面边长为， ∴多面体的体积为，即a＝1． ∴正方体的对角线长为． 则正方体的外接球的半径为． 表面积为S． 故选：A． 6．在底面是边长为2的正方形的四棱锥P﹣ABCD中，点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为2，若四棱锥P﹣ABCD的内切球半径为r，外接球的半径为R，则（　　） A． B． C． D． 【解析】解：如图，E，F为AB，CD的中点， 由题意，P﹣ABCD为正四棱锥， 底边长为2， ∵BC∥AD， ∴∠PBC即为PB与AD所成角， 可得斜高为2， ∴△PEF为正三角形， 正四棱锥P﹣ABCD的内切球半径 即为△PEF的内切圆半径， 可得r， 设O为外接球球心， 在Rt△OHA中，， 解得R， ∴， 故选：B． 7．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，则该四棱锥的外接球的半径为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：把四棱锥P﹣ABCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P﹣ABCD的外接球的直径2R． ∴（2R）2＝22+22+22＝12， ∴R． 故选：A． 8．正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱的侧面面积的最大值为（　　） A．48 B．64 C． D． 【解析】解： 如图，M，N为上下底面的中心， 则MN的中点O即为外接球的球心， ∴OA＝4， 设ON＝x，0＜x＜4， 在直角三角形ONA中求得， AN， ∵AB＝AN， ∴AB， ∴S侧＝3AB×MN ＝6 ＝48（当且仅当x＝2时取等号） 故选：A． 9．已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，则该直四棱柱外接球的体积为（　　） A．24π B．6π C．64π D．8π 【解析】解：直四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱长为4， 外接球的直径就是体对角线的长度，所以外接球的半径为：． 则该直四棱柱外接球的体积为：8． 故选：D． 10．三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AC