专题05基本不等式及其应用-2020-2021学年高一下学期期末备考之金榜名题（人教A版必修2+必修5）

专题05基本不等式及其应用 1．已知x＞0，y＞0，，则使不等式x+y≥m恒成立的实数m取值范围（　　） A．m≥18 B．m≤18 C．m≥16 D．m≤16 【解析】解：已知x＞0，y＞0，， 所以， 当且仅当x＝4，y＝12时取等号， 要使x+y≥m恒成立， 只需满足（x+y）min≥m即可， 即m≤16． 故选：D． 2．已知a＞0，b＞0，则的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．6 【解析】解：∵a＞0，b＞0，∴当且仅当a＝b＝1时，取等号． 故选：B． 3．已知a，b都是正数，若2a+b＝2，则的最小值是（　　） A．5 B．4 C． D． 【解析】解：∵a＞0，b＞0，2a+b＝2， ∴， 当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 4．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a和b，则该图形可以完成的无字证明为（　　） A． B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C． D． 【解析】解：因为直角三角形的直角边长分别为a和b， 所以斜边即大正方形的边长为，大正方形面积a2+b2， 由题意得a2+b2≥42ab，当且仅当a＝b时取等号， 故选：B． 5．若正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（　　） A． B．2 C．5 D．4 【解析】解：因为正实数a，b满足a+b＝1， 则35， 当且仅当且a+b＝1．即a，b时取等号， 此时的最小值5． 故选：C． 6．已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（　　） A．24 B．313 C．913 D．25 【解析】解：因为ab﹣a﹣2b﹣2＝0， 所以b，又a＞0，b＞0， 所以0，解得a＞2， 又b1， 所以（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2 ＝a+2b+2+2a+b+2＝3a+3b+4 ＝3a7＝3（a﹣2）13 ， 当且仅当3（a﹣2）即a＝4时等号成立， 即（a+1）（b+2）的最小值为25． 故选：D． 7．设x，y均为正实数，且，则x+y的最小值为（　　） A．8 B．16 C．9 D．6 【解析】解：因为x，y均为正实数且， 则2+x+2+y＝[（2+x）+（2+y）]（）， ＝3（2）≥3（2+2）＝12， 所以x+y≥8，当x＝y＝4时取等号． 故选：A． 8．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：因为a，b，c均为正实数， 则， 当且仅当2b且a＝c，即a＝b＝c时取等号， 则的最大值为． 故选：A． 9．已知x＞0，y＞0，且x+y＝xy﹣1，则（　　） A．xy的最大值为 B．xy的最大值为6 C．2x+y的最小值为 D．2x+y的最小值为7 【解析】解：x＞0，y＞0，且x+y＝xy﹣1，当且仅当x＝y时取等号， 解得，或（舍）， 故xy，即xy的最小值3+2，没有最大值，A错误，B错误； 因为x+y＝xy﹣1， 所以x0， 故y＞1， 2x+y2y3＝7， 当且仅当y﹣1，即y＝3，x＝2时取等号， 所以2x+y的最小值7，C错误，D正确． 故选：D． 10．设正数a，b，c满足a+b+c＝1，则（　　） A．ab+bc+ca有最小值 B．a2+b2+c2有最大值 C．有最小值1 D．有最大值9 【解析】解：∵正数a，b，c满足a+b+c＝1， ∴1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca （2a2+2b2+2c2）+2ab+2bc+2ca≥3ab+3bc+3ca， ∴ab+bc+ca，∴ab+bc+ca有最大值为，故A错误； 再根据 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1≤3（a2+b2+c2）， ∴a2+b2+c2，∴a2+b2+c2有最小值为，故B错误； 根据柯西不等式：（）（a+b+c） ＝[（）2+（）2+（）2][（）2+（）2+（）2]≥（a+b+c）2＝1， ∴有最小值1，故C正确； ∵正数a，b，c满足a+b+c＝1，∴ ＝3+（）+（）+（）≥3+2229， 当且仅当a＝b＝c时，取最小值9，故D错误． 故选：C． 11．已知a＞0，b＞0，a+4b＝1，则的最小值为　　． 【解析】解：∵a＞0，b＞0，a+4b＝1，∴（a+4b）（）＝4040+264，当且仅当，即a且b时，取“＝”． 故答案为：64． 12．已知x＞﹣1，则的最小值为　　，此时x为　　． 【解析】解：∵x+1＞0，∴，当且仅当，即x＝1时原式取最小值．