专题03数列求和的综合应用-2020-2021学年高一下学期期末备考之金榜名题（人教A版必修2+必修5）

专题03数列求和的综合应用 1．已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q（q＞0）的等比数列，且a1＝b1＝2，a4+a5＝25，a3b3＝4． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Sn． 【解析】解：（Ⅰ）因为数列{an}是公差为d的等差数列， 已知a1＝2，a4+a5＝25， 所以a1+3d+a1+4d＝25，所以d＝3， 所以an＝2+（n﹣1）×3＝3n﹣1． 所以a3＝8． 因为a3b3＝4．所以．所以． 因为b1＝2，q＞0，所以． 所以． （Ⅱ）因为，且， 所以数列{cn}是首项为4，公比为等比数列， 所以Sn＝c1+c2+⋯+cn． 2．已知{an}是等差数列，记Sn为数列{an}的前n项和，且a8＝1，S16＝24． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若{bn}是单调递增的等比数列，且b1+b4＝9，b2b3＝8，求（a1﹣b1）+（a2﹣b2）+（a3﹣b3）+⋅⋅⋅+（an﹣bn）． 【解析】解：（1）由已知可得， ∴a1＝﹣6，d＝1， ∴an＝﹣6+（n﹣1）＝n﹣7， （2）由已知可得， 又{bn}是递增的等比数列， 解得：b1＝1，b4＝8，q＝2 ∴bn＝2n﹣1， ∴（a1﹣b1）+（a2﹣b2）+（a3﹣b3）+⋅⋅⋅+（an﹣bn） ＝（a1+a2+a3+…+an）﹣（b1+b2+b3+…+bn） ＝[﹣6n] 2n+1． 3．在等差数列{an}中，a2+a7＝﹣23，S10＝﹣145． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{an+bn}是首项为1，公比为a的等比数列，求{bn}的前n项和Sn． 【解析】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由a2+a7＝﹣23，S10＝﹣145，得， 解得， ∴an＝﹣1﹣3（n﹣1）＝﹣3n+2； （Ⅱ）∵数列{an+bn}是首项为1，公比为a的等比数列， ∴an+bn＝an﹣1，则， ∴Sn＝b1+b2+...+bn ＝（a0+a1+...+an﹣1）+3（1+2+...+n）﹣2n． 若a＝1，则a0+a1+...+an﹣1＝n； 若a≠1，则a0+a1+...+an﹣1． 又3（1+2+...+n）﹣2n． ∴． 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a4＝6，S11＝66． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足，求证：b1+b2+⋅⋅⋅+bn＜1． 【解析】（1）解：由S11＝11a6＝66得a6＝6………… 设公差为d，则a6﹣a2＝4d＝4，∴d＝1………… 所以an＝a2+（n﹣2）d＝2+（n﹣1）×1＝n………… （2）证明：由（1）得 所以 5．已知等差数列{an}满足an+1＞an（n∈N+），a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设Tn（n∈N+），求Tn． 【解析】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，d＞0， 由a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项， 可得（a1+1）（a3+3）＝（a2+1）2， 即为2（4+2d）＝（2+d）2， 解得d＝2（﹣2舍去）， 则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1： 等比数列{bn}的前三项为2，4，8，则bn＝2n； （2）（2n﹣1）•（）n， 可得Tn1•（）1+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n， Tn＝1•（）2+3•（）3+5•（）4+…+（2n﹣1）•（）n+1， 两式相减可得Tn2[（）2+（）3+…+（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1 2•（2n﹣1）•（）n+1， 化简可得Tn＝3﹣（2n+3）•（）n． 6．已知数列{an}满足a1＝3，a2＝7，且2an+1＝an+2+an，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2bn﹣1． （1）求an，bn； （2）把数列{an}，{bn}的项依次从小到大排列，得到数列{cn}，求数列{cn}的前50项和． 【解析】解：（1）由2an+1＝an+2+an，n∈N*，可得an+2﹣an+1＝an+1﹣an，又a1＝3，a2＝7，a2﹣a1＝4，可得an+1﹣an＝4， 即{an}是首项为3，公差为4的等差数列，则an＝3+4（n﹣1）＝4n﹣1； 又Sn＝2bn﹣1，可得b1＝S1＝2b1﹣1，解得b1＝1， 当n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2bn﹣1﹣2bn﹣1+1， 化为bn＝2bn﹣1， 所以{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则bn＝2n﹣1； （2）由（1）可设数列{cn}的前50项中有m项来自于{bn}，有n项来自于{an}， 则，