第13讲 立体几何中的空间向量-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第13讲 立体几何中的空间向量 【学习目标】 1.掌握用空间向量方法证明平行垂直关系. 2.掌握用空间向量方法求解空间角. 【基础知识】 一.平行垂直问题基础知识 直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4) (1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0 (2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3 (3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4 (4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0 二.利用空间向量求空间角基础知识 (1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝ . (2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝ . (3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2， 若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ ； 若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－ . 【考点剖析】 考点一：通过空间向量判断位置关系 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求证：EF∥平面PAB； (2)求证：平面PAD⊥平面PDC. [证明]　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E ，F ， ＝ ， ＝(1,0，－1)， ＝(0,2，－1)， ＝(0,0,1)， ＝(0,2,0)， ＝(1,0,0)， ＝(1,0,0)． (1)因为 ＝－ EMBED Equation.DSMT4 ，所以 ∥ ，即EF∥AB. 又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB. (2)因为 · ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， · ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以 ⊥ ， ⊥ ，即AP⊥DC，AD⊥DC. 又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC， 所以平面PAD⊥平面PDC. 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 跟踪训练1 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上， 且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． 求证：(1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD. 证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)， 所以 ＝(a,0,0)， ＝(0,2,2)， ＝(0,2，－2)， · ＝0， · ＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD. (2)由(1)知，E(0,0,3)，G ，F(0,1,4)，则 ＝ ， ＝(0,1,1)， · ＝0＋2－2＝0， · ＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 考点二：空间中的角 例2、如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4， 点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值． 【解析】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以 ＝(2,0，－4)， ＝(1，－1，－4)． 因为cos〈 ， 〉＝ ＝ 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为 . (2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为 ＝(1,1,0)， ＝(0,2,4)，所以n1