第12讲 空间向量及其运算-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第12讲 空间向量及其运算 【学习目标】 1.通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 2.掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 【基础知识】 知识点一　空间向量的概念 思考　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． 答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． 梳理　(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作 ，其模记为|a|或| |. (2)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 知识点二　空间向量的加减运算及运算律 思考1　下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a. 答案　如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作 ＝a， ＝b，则 ＝ ＋ ＝a＋b，＝ － ＝b－a. 思考2　由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量 的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？ 答案　先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则． 梳理　(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算． ＝ ＋ ＝a＋b ＝ － ＝a－b ＝ ＋ ＝ ＋ ＝a＋b (2)空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点三　空间向量的数乘运算 思考　实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？ 答案　λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍． 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： ①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb， ②结合律：λ(μa)＝(λμ)a. 梳理　(1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb； ③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)． 知识点四　共线向量与共面向量 思考1　回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义． 答案　如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 思考2　空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？ 答案　正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量． 梳理　(1)平行(共线)向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 充要条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb 点P在直线l上的充要条件 存在实数t满足等式 ＝ ＋ta在直线l上取向量 ＝a，则 ＝ ＋t 向量a为直线的方向向量 (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 点P位于平面ABC内的充要条件 存在有序实数对(x，y)，使 ＝x ＋y 对空间任一点O，有 ＝ ＋x ＋y 知识点五　空间向量数量积的概念 思考　如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量 与 的数量积？并总结求两个向量数量积的方法． 解析∵ ＝ － ， ∴ · ＝ · － · ＝| || |cos〈 ， 〉－| || |cos〈 ， 〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16. 求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算． 梳理　(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b) 交换律