第11讲 抛物线-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第11讲 抛物线 【学习目标】 1.掌握抛物线的定义与相关概念； 2.掌握抛物线的标准方程； 3.了解掌握抛物线中的焦半径，中点弦，点差法等计算. 【基础知识】 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在定直线上．❶ 其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程❷和几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线． 四种不同抛物线方程的异同点 共同点 (1)原点都在抛物线上； (2)焦点都在坐标轴上； (3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ，即 ＝ 不同点 (1)焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2； (2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号. 3.常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝ ，y1y2＝－p2； (2)|AF|＝ ，|BF|＝ ，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)； (3) ； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 【考点剖析】 考点一：抛物线的定义及应用 例1．(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　) A. 　　　　　　　　　 B．1 C. D．2 (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 【答案】(1)B　(2)4 【解析】(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 又点P到焦点F的距离为2， ∴由定义知点P到准线的距离为2. ∴xP＋1＝2，∴xP＝1. 代入抛物线方程得|yP|＝2， ∴△OFP的面积为S＝ ·|OF|·|yP|＝ ×1×2＝1. (2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 【变式发散】 1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 【答案】：2 【解析】：由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ ＝2 ， 即|PB|＋|PF|的最小值为2 . 2．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________． 【答案】： 【解析】：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1， 由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为 ＝ . 【解题技法】 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径． 【提示】注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋ 或|PF|＝|y|＋ . 【过关训练】 1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为_____