第09讲 直线与椭圆位置关系-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第09讲 直线与椭圆位置关系 【学习目标】 1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系； 2.掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式； 3.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧； 4.进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想. 【基础知识】 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆 (a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔ ； 点P在椭圆内部⇔ ； 点P在椭圆外部⇔ . 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆 (a>b>0)的位置关系： 联立 消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？ (2)直线y＝kx＋1与椭圆 有怎样的位置关系？ [提示]　(1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称． (2)直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆 的内部，因此直线与椭圆相交． 【考点剖析】 考点一：直线与椭圆的位置关系 1．若直线y＝kx＋1与椭圆 总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞) 【答案】D 【解析】由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0＜ ≤1且m≠5，故m≥1且m≠5. 2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： .试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ＞0，即－3 ＜m＜3 时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解． 这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3 时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解． 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ＜0，即m＜－3 或m＞3 时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 【名师微点】 判断直线与椭圆位置关系的方法 (1)判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 考点二：弦长问题 例1．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 (a＞b＞0)的离心率为 ，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4. (1)求椭圆的方程； (2)若|AB|＋|CD|＝ ，求直线AB的方程． 【解析】(1)由题意知e＝ ＝ ，2a＝4. 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝ ， 所以椭圆方程为 . (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件． ②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线CD的方程为y＝－ (x－1)． 将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ， 所以|AB|＝ EMBED Equation.DSMT4 |x1－x2| ＝ · ＝ . 同理，|CD|＝ ＝ . 所以|AB|＋|CD|＝ ＋ ＝ ，解得k＝±1， 所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 【解题技法】 1．弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： ①|AB|＝ |x1－x2|； ②|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)； ③|AB|＝ ； ④|AB|＝ . 2．弦长公式的运用技巧 弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－