第08讲 椭圆的几何性质-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第08讲 椭圆的几何性质 【学习目标】 1.掌握椭圆的几何性质，会画出椭圆的图形； 2.学会运用代数法来研究椭圆的几何性质，能根据标准方程得出其几何性质； 3.培养学生观察、分析、概括、总结等能力，学会提出问题、分析问题、解决问题的能力. 【基础知识】 1．椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． (1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 (a＞b＞0) (a＞b＞0) 图形 性质 范围 　 　x∈[－a，a]，　y∈[－b，b] 　x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝ ，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝ 越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝ 越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆. [熟记常用结论] 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1) (a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2) (a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆 (a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝ |PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝ . 4．AB为椭圆 (a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝ |x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－ . 【考点剖析】 考点一：椭圆的定义及应用 例1．(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A. 　　　　　 B. C. D. (2)已知F1，F2是椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且 ⊥ .若△PF1F2的面积为9，则b＝__________. (3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 【答案】(1)D　(2)3　(3)6＋ 　6－ 【解析】(1)设圆M的半径为r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|， 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8， 故所求的轨迹方程为 . (2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 ∴2r1r2＝(r1＋r2)2－( )＝4a2－4c2＝4b2， ∴S△PF1F2＝ r1r2＝b2＝9，∴b＝3. (3)椭圆方程化为 ， 设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)， ∴|AF1|＝ ，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6， 又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)， ∴6－ ≤|PA|＋|PF|≤6＋ . 【变式发散】 1．在本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为________________． 【答案】 【解析】由原题得b2＝a2－c2＝9， 又2a＋2c＝18， 所以a－c＝1，解得a＝5， 故椭圆方程为 . 2．(变条件)将本例(2)中的条件“ ⊥ ”“△PF1F2的面积为9”变为“∠F1PF2＝60°