第07讲 逻辑联结词、全称命题与特称命题-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第07讲逻辑联结词、全称命题与特称命题 【学习目标】 1．掌握逻辑联结词“或、且”的含义 2．正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题 3．掌握真值表并会应用真值表解决问题 4．理解掌握全称命题与特称命题，并掌握命题的否定. 【基础知识】 1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 p q p∧q p∨q p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2．全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 3．全称命题与特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) 4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题 名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称 命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M， p(x) ∃x0∈M， p(x0) 特称 命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M， p(x0) ∀x∈M， p(x) 【考点剖析】 考点一：含有逻辑联结词的命题真假判断 例1．(1)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　) A．p∨q　　　　　　　　　 B．p∧q C．( p)∧( q) D．p∨( q) (2)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数， p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数， 则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：( p1)∨p2和q4：p1∧( p2)中，真命题是(　　) A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4 【答案】(1)A　(2)C 【解析】　(1)由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A. (2)∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数， ∴y＝2x－2－x在R上是增函数， ∴p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数是真命题． p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数是假命题， 故q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，q3：( p1)∨p2是假命题，q4：p1∧( p2)是真命题． 故真命题是q1，q4，故选C. 【思维升华】判断含有逻辑联结词命题真假的3个步骤 【迁移应用】 1.(2021·荆州调研)已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋ 的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④( p)∨( q)，则其中真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】　在方程x2－2ax－1＝0中，由于Δ＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋ 的值为负值，故命题q为假命题．所以p∨q，p∧( q)，( p)∨( q)是真命题，故选C. 考点二：含有量词的命题 考法(一)　含有量词的命题的真假判断　 [例1]　下列命题中的假命题是(　　) A．∀x∈R,2x－1>0　　　　 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2 【答案】B 【解析】当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确，故选B. 【思维升华】全称命题与特称命题真假判断的方法 判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立． 考法(二)　含有量词的命题的否定　 [例2]　命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 【答案】D 【解析】由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”． 【思维升华】全称命题与特称命题的否定 (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． (2)否定结论：对原命题