第06讲 命题及其关系+充分条件与必要条件-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第06讲 四种命题的关系、充分条件与必要条件 【学习目标】 1．了解四种命题的概念． 2．认识四种命题的结论，会写出某命题的逆命题，否命题和逆否命题． 3．理解四种命题的关系． 4．会利用命题的等价性解决问题。 5．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义； 6．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件； 7．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系. 8．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明. 【基础知识】 一．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 二．四种命题及其关系 四种命题间的相互关系 四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 三．充分条件与必要条件的相关概念 记p，q对应的集合分别为A，B，则 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p A⊇B p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p A＝B p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp A B p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p A B p是q的既不充分条件也不必要条件 pq且qp AB且A⊉B 四.熟记常用结论 1．充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)． 2．利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得： (1)p⇒q等价于 q⇒ p； (2)qp等价于綈p q. 【考点剖析】 考点一：命题及其关系 1．命题“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”的逆否命题是(　　) A．若x≠y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2＝0 B．若x＝y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0 C．若x≠0且y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0 D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0 【答案】D 【解析】x2＋y2＝0的否定为x2＋y2≠0； x＝y＝0的否定为x≠0或y≠0. 故“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0”． 2．有以下命题： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题； ③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题． 其中真命题为(　　) A．①②　　　　　　　　 B．②③ C．④ D．①②③ 【答案】D 【解析】①“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题； ②“面积不相等的两个三角形一定不全等”，是真命题； ③若m≤1，则Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题； ④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选D. 3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个． 【思维升华】 1．由原命题写出其他3种命题的方法 由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． [提醒]　(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； (2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提． 2．判断命题真假的2种方法 (1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． (2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假． 考点二：充分、必要条件的判定 例1．已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】法一：定义法 由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p推不出q，所以p是q的必要不充分条