第05讲 基本不等式-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第05讲 基本不等式 【学习目标】 1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．会利用基本不等式求解最值，掌握基本不等式的应用 【基础知识】 1.基本不等式： ≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中 称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是 (简记：和定积最大). [微点提醒] 1. ≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 2.ab≤ ≤ . 3. (a>0，b>0). 【考点剖析】 考点一：利用基本不等式求最值 角度1　通过配凑法求最值 【例1－1】 (2021·乐山一中月考)设0<x< ，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________. 【答案】 【解析】y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2 ＝ ， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝ 时，等号成立. ∵ ∈ ，∴函数y＝4x(3－2x) 的最大值为 . 角度2　通过常数代换法求最值 【例1－2】 (2021·潍坊调研)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则 的最小值为________. 【答案】4 【解析】∵曲线y＝a1－x恒过定点A，x＝1时，y＝1， ∴A(1，1). 将A点代入直线方程mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)， 可得m＋n＝1， ∴ ＝ ·(m＋n)＝2＋ ≥2＋2 ＝4， 当且仅当 且m＋n＝1(m>0，n>0)，即m＝n＝ 时，取得等号. 规律方法　在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 【训练1】 (1)(2021·济南联考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则 的最小值为(　　) A.2 B. C.4 D. (2)已知x< ，则f(x)＝4x－2＋ 的最大值为______. 【答案】(1)B　(2)1 【解析】(1)因为a>0，b>0，故2a＋b≥2 (当且仅当2a＝b时取等号). 又因为2a＋b＝4， ∴2 ≤4⇒0<ab≤2， ∴ ≥ ，故 的最小值为 (当且仅当a＝1，b＝2时等号成立). (2)因为x< ，所以5－4x>0， 则f(x)＝4x－2＋ ＝－ ＋3 ≤－2 ＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝ ，即x＝1时，等号成立. 故f(x)＝4x－2＋ 的最大值为1. 考点二：基本不等式在实际问题中的应用 例1． 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油 升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【解析】(1)设所用时间为t＝ (h)， y＝ ×2× ＋14× ，x∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝ ，x∈[50，100] (2)y＝ ≥26 ， 当且仅当 ， 即x＝18 时等号成立. 故当x＝18 千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26 元. 【规律方法】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－ .已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该