第04讲 不等式的性质及一元二次不等式与简单线性规划问题-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第04讲 不等式的性质及一元二次不等式与简单线性规划问题 【学习目标】 1通过具体的情景，了解不等式（组）的实际背景，借助数轴能从“形”和“数”两个方面来认识不等式. 2.理解不等式的性质，能运用不等式的性质证明简单的不等式以及解不等式. 3.掌握一元二次不等式的基本解法，并解决一些实际问题. 4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 5.能从实际中抽象出简单的二元线性规划问题。并能加以解决. 6.能将实际问题转化成数学问题，建立不等式模型，求解不等式. 【基础知识】 1.实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒ ＞ (n∈N，n≥2). 3.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ [微点提醒] 4.有关分数的性质 (1)若a>b>0，m>0，则 ； (b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔ . 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别. 5.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0. 3.线性规划的有关概念 名称 意义 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件 目标函数 关于x，y的解析式 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 [微点提醒] 1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定二元一次不等式表示的区域 (1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方. (2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方. 【考点剖析】 考点一：不等式的性质 角度1　比较大小及不等式性质的简单应用 【例1－1】 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b (2)(一题多解)若 ＜0，给出下列不等式：① ；②|a|＋b＞0；③a－ ＞b－ ；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 【答案】(1)A　(2)C 【解析】(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1， ∴b－a＝a2－a＋1＝ ＋ >0， ∴b>a，∴c≥b>a. (2)法一　因为 ＜0，故可取a＝－1，b＝－2. 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D. 法二　由 ＜0，