第03讲 数列求和-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第03讲 数列求和 【学习目标】 1．学会分析通项的结构，准确选择恰当的方法，迅速解决非特殊数列求和问题。 2．掌握分组求和、裂项相消、错位相减、并项求和、倒序相加等求和方法 【基础知识】 1．求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式 Sn＝ ＝na1＋ d. 推导方法：倒序相加法； ②等比数列的前n项和公式 Sn＝ 推导方法：乘公比，错位相减法． (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1) ； (2) ； (3) . 难点正本　疑点清源 1．解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成． (2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 2．等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决． 【考点剖析】 考点一：分组转化法 例1．已知数列{an}的前n项和Sn＝ ，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝n. a1＝1也满足an＝n， 故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝ ＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 【解题技法】 若数列通项是几个数列通项的和或差的组合，如：等差加等比，等比加等比．对于这类数列求和，就是对数列通项进行分解，然后分别对每个数列进行求和．例如：an＝bn＋cn＋…＋hn，则 ＝ ＋ ＋…＋ 【过关训练】 1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3 ，则其前20项和为(　　) A．380－ 　　　　 B．400－ C．420－ D．440－ 【答案】C 【解析】　令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3 2．(2019·焦作模拟)已知{an}为等差数列，且a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝88，且数列{bn－an}为等比数列． (1)求数列{an}和{bn－an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Sn. 【解析】(1)设{an}的公差为d， 因为a2＝3，{an}前4项的和为16， 所以 解得 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 设{bn－an}的公比为q， 则b4－a4＝(b1－a1)q3， 因为b1＝4，b4＝88， 所以q3＝ ， 解得q＝3， 所以bn－an＝(4－1)×3n－1＝3n. (2)由(1)得bn＝3n＋2n－1， 所以Sn＝(3＋32＋33＋…＋3n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1) ＝ 考点二：错位相减法 例2．设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解析】(1)由2Sn＝3an－1，① 得2Sn－1＝3an－1－1(n≥2)，② ①－②，得2an＝3an－3an－1，∴ ＝3(n≥2)， 又2S1＝3a1－1，∴a1＝1， ∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1. (2)由(1)得，bn＝ ， ∴Tn＝ ， Tn＝ ， 两式相减，得 Tn＝ ，∴Tn＝ . 【解题技法】 如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数