第02讲 等比数列-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第02讲 等比数列及前n项和 【学习目标】 1．理解等比数列的概念 ，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 2．加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概 念，掌握等比数列的性质 3. 掌握等比数列前n项和的计算及应用 【基础知识】 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)． 3．等比中项 若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G为a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{}，{an·bn}，仍是等比数列． 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， Sn＝ 6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 难点正本　疑点清源 1．等比数列的特征 从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数． 2．等比数列中的函数观点 利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．两个防范 (1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误． 【考点剖析】 考点一：等比数列基本量的运算 【题组训练】 1．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　) A．2　　　　　　　　　 B．1 C. D. 【答案】C 【解析】由{an}为等比数列，得a3a5＝， 又a3a5＝4(a4－1)，所以＝4(a4－1)，解得a4＝2. 设等比数列{an}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝. 2．(2021·湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 【答案】C 【解析】当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意； 当q≠1时，由得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C. 3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B 【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3. 4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________. 【答案】2n－1 【解析】设等比数列{an}的公比为q， ∵∴ 由①除以②可得＝2， 解得q＝，代入①得a1＝2， ∴an＝2×n－1＝， Sn＝＝4， ∴＝2n－1. 【名师微点】 等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． (2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝. 考点二：等比数列的判定与证明 例1．[典例精析] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列． 【证明】因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an， 所以＝ 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5. 所以b1＝a2－2a1＝3. 所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． [解题技法] 等比数列的判定方法 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项公式法